ta co: (ab+bc+ac)² - 3abc(a+b+c) = a²b²+ b²c² + a²c² + 2a²bc + 2b²ac+ 2c²ab- 3a²bc- 3b²ac- 3c²ab.

=a²b²+ b²c² + a²c²- a²bc- b²ac-c²ab.

=>cm: a²b²+ b²c² + a²c²- a²bc- b²ac- c²ab >= 0

<=> 2(a²b²+ b²c² + a²c²- a²bc- b²ac- c²ab) >=0

<=> (ab- ac)² + (ab- bc)² + (bc- ac)² >=0 (luon dung voi moi a,b,c)

=> dpcm.

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\)\(\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu " = " xảy ra ⇔ a=b

Với điều kiện \(ab+bc+ca+abc=4\) thì \(VP-VT=\frac{bc^2\left(a-b\right)^2+ca^2\left(b-c\right)^2+ab^2\left(c-a\right)^2}{\left(a^2+2b\right)\left(b^2+2c\right)\left(c^2+2a\right)}\ge0\)

Cauchy ngược dấu + Svacxo + gt coi 

Tu \(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)

Hay \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\Leftrightarrow a=b=c\)

Thay vao M ta co: \(M=\dfrac{a\cdot a+a\cdot a+a\cdot a}{a^2+a^2+a^2}=\dfrac{2019}{2019}=\dfrac{2018}{2018}=\dfrac{2017}{2017}=\dfrac{2016}{2015+1}=1\)

bn xem trong SGK đi 

bạn chưa ra hình vẻ

Ta có: \(\text{Σ}_{cyc}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\left(ab+bc+ca\right)\)

Dấu "=" khi a = b = c

Đây là bất đằng thức gì vậy bạn ?

╰❥결 원ッ2K҉7⁀ᶦᵈᵒᶫ♚ Việc gì phải dùng với \(\Sigma_{cyc}\) cho phức tạp vậy má,viết ra hẳn luôn \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\) cũng dc mà :)

Cách tui:

Áp dụng BĐT bunhiacopski ta có:

\(\left(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+a^2\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)