ta co: (ab+bc+ac)2 - 3abc(a+b+c) = a2b2+ b2c2 + a2c2 + 2a2bc + 2b2ac+ 2c2ab- 3a2bc- 3b2ac- 3c2ab.
=a2b2+ b2c2 + a2c2- a2bc- b2ac-c2ab.
=>cm: a2b2+ b2c2 + a2c2- a2bc- b2ac- c2ab >= 0
<=> 2(a2b2+ b2c2 + a2c2- a2bc- b2ac- c2ab) >=0
<=> (ab- ac)2 + (ab- bc)2 + (bc- ac)2 >=0 (luon dung voi moi a,b,c)
=> dpcm.
cho a , b , c >0. Chứng minh các bất đẳng thức :
1, ab + bc + ca \(\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2, \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3, \(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\)
4, \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
5, \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
chứng minh bất đẳng thức \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}< 2\sqrt{a+1}\)
cho a,b,c>0
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
\(\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\)+\(\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}\)+\(\frac{c^2}{c^2+ac+a^2}\)≥1 với mọi a;b;c là các số thực dương
CMR với a,b,c là số thực dương thì :
\(a^4+b^4+c^4+abc\left(a+b+c\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ac\left(a^2+c^2\right)\)
Cho ba số thực dương a; b và c thỏa mãn : \(a.b.c=1\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{a}{(ab+a+1)^2}+\dfrac{b}{(bc+b+1)^2}+\dfrac{c}{(ac+c+1)^2}\ge\dfrac{1}{a+b+c}\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn nhiều ạ!
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
1. a3 - 3a +4 \(\ge\) b3 - 3b ( a\(\ge\)b)
2. \(\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\) ( với a+b>0 )
3. \(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\ge\dfrac{3abc}{a+b+c}\) ( với a+b+c\(\ne\)0 )
cho a,b,c là số thực dương. Cmr:
1.\(\dfrac{a}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}\)
2.\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\dfrac{9}{4}\)
CHo a b c d là các số thực . CHứng minh các bất đẳng thức sau :
a, NẾu \(\frac{a}{b}\) <1 thì \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+c}{b+c}\)
b, \(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\)
c, \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(a^2b-a+c+1\right)\)
d, a + b + c \(\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}\sqrt{ca}\) với a, b, c\(\ge0\)
e, \(a^3+b^3\ge a^2b+b^2a=ab\left(a+b\right)\)
Giúp em với ạ ! ^_^
