Trước hết ta chứng minh BĐT Vasc sau:
Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn \(abc=1\) thì:
\(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge1\)
Thật vậy, do \(abc=1\) nên tồn tại \(x;y;z\) sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{yz}{x^2}\\b=\frac{xz}{y^2}\\c=\frac{xy}{z^2}\end{matrix}\right.\)
BĐT trở thành: \(\sum\frac{1}{\frac{y^2z^2}{x^4}+\frac{yz}{x^2}+1}\ge1\Leftrightarrow\sum\frac{x^4}{y^2z^2+x^2yz+x^4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\sum x^2y^2+\sum x^2yz+\sum x^4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\ge\sum x^2y^2+\sum x^2yz+\sum x^4\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)
BĐT trên luôn đúng (theo dạng quen thuộc \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng cho bài toán:
\(VT=\sum\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}=\sum\frac{1}{\left(\frac{b}{a}\right)^2+\frac{b}{a}+1}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{b}{a}=x\\\frac{c}{b}=y\\\frac{a}{c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xyz=1\)
\(\Rightarrow VT=\sum\frac{1}{x^2+x+1}\ge1\) theo Vasc
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c\)
