ĐK: \(a\ge0\)
bđt cần c/m tương đương \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}\right)^2< \left(2\sqrt{a+1}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+a+2+2\sqrt{a\left(a+2\right)}< 4\left(a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{a^2+2a}< 2\left(a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{a^2+2a}< 2\sqrt{\left(a+1\right)^2}=2\sqrt{a^2+2a+1}\), luôn đúng \(\forall a\ge0\)
Vậy ta có đpcm
1/ Cho a,b>0 , thỏa mãn ab = 1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+b+ab}}\ge\sqrt{3}\)
2/ Cho a>0. Chứng minh rằng:
a+\(\dfrac{1}{a}\ge\sqrt{\dfrac{1}{a^2+1}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2+1}}\)
3/ Cho a, b>0. Chứng minh rằng:
2(a+b)\(\le1+\sqrt{1+4\left(a^3+b^3\right)}\)
Cho ba số thực không âm \(a;b;c\) và thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\left(a+b+1\right).\left(c+2\right)}+\sqrt{\left(b+c+1\right).\left(a+2\right)}+\sqrt{\left(c+a+1\right).\left(b+2\right)}\ge9\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn rất nhiều ạ!
Cho a,b,c > 0 và \(a^2+b^2+c^2=1\)
Chứng minh rằng : \(4\le\sqrt{a^4+b^2+c^2+1}+\sqrt{a^2+b^4+c^2+1}+\sqrt{a^2+b^2+c^4+1}\le3\sqrt{2}\)
Cho a , b , c > 0 . Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Cho a,b,c > 0 và: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt{2}\). Tìm Min
\(S=\sqrt[3]{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt[3]{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt[3]{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
Cho các số thực dương : \(a;b;c\) thỏa mãn điều kiện : \(ab+bc+ac+abc=4\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(a^2+b^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(b^2+c^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{2}\)
P/s: Em xin phép nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán.
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Cho a,b,x,y∈R thoả mãn a2+b2=x2+y2=1.
Chứng minh rằng:
\(-\sqrt{2}\) ≤ a(x+y)+b(x-y) ≤\(\sqrt{2}\)
cho a,b,c thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\end{matrix}\right.\) chứng minh rằng\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{\sqrt{c}}\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Chứng minh rằng :
\(\sqrt{9a^2+16}+\sqrt{9b^2+16}+\sqrt{9c^2+16}\le5\left(a+b+c\right)\)
