Xét hai tam giác BMT và TMA, chúng có:

chung

= (cùng chắn cung nhỏ )

nên ∆BMT ~ ∆TMA, suy ra =

hay MT² = MA. MB

Xét ΔOTM vuông tại T có \(OM^2=OT^2+TM^2\)

=>\(TM^2=OM^2-OT^2\)

=>\(MT^2=d^2-R^2\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MTA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến TM và dây cung TA

\(\widehat{TBA}\) là góc nội tiếp chắn cung TA

Do đó: \(\widehat{MTA}=\widehat{TBA}\)

=>\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\)

Xét ΔMTA và ΔMBT có

\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\)

\(\widehat{TMA}\) chung

Do đó: ΔMTA đồng dạng với ΔMBT

=>\(\dfrac{MT}{MB}=\dfrac{MA}{MT}\)

=>\(MT^2=MA\cdot MB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MA\cdot MB=MT^2=d^2-R^2\)

Xét ΔOTM vuông tại T có \(OM^2=OT^2+TM^2\)

=>\(TM^2=OM^2-OT^2\)

=>\(MT^2=d^2-R^2\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MTA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến TM và dây cung TA

\(\widehat{TBA}\) là góc nội tiếp chắn cung TA

Do đó: \(\widehat{MTA}=\widehat{TBA}\)

=>\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\)

Xét ΔMTA và ΔMBT có

\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\)

\(\widehat{TMA}\) chung

Do đó: ΔMTA đồng dạng với ΔMBT

=>\(\dfrac{MT}{MB}=\dfrac{MA}{MT}\)

=>\(MT^2=MA\cdot MB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MA\cdot MB=MT^2=d^2-R^2\)

Xét (O) có:

  CDA và ABC là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC

=> góc CDA = góc ABC hay góc MDA= gócMBC

Xét tam giác MDA và tam giác MBC có:

 góc MDA = góc MBC(cmt)

 góc M chung

=> 2 tam giác trên đồng dạng(g.g)

=>\(\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{MA}{MC}\)

=>MA.MB=MC.MD

a) tứ giác AOBM nội tiếp thì có tâm đường tròn là trung điểm OM

cần CM tứ giác OIMB nội tiếp: dùng tổng hai góc đối cộng với nhau bằng 180o, mà đã có OBM=90o, mà I là trung điểm dây cung CD nên OI vuông góc CD luôn => OIM=90o

Vậy tứ giác OIMB nội tiếp thì tâm đường tròn cũng tại trung điểm OM luôn

b) 5 điểm A,I,O,B,M cùng thuộc 1 đtron

=> tứ giác AIOB nội tiếp => góc AIB=AOB (cùng chắn cung)

tứ giác AIOM nội tiếp => góc AIM=AOM (ccc)

mà góc AOM=1/2AOB=AIM=1/2AIB

=> BIM=1/2AIB (đpcm