Question

cho đường tròn (O,R) và điểm M nằm ngoài đường tròn . kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT. đặt OM = d . C/m MA.MB = MT^2 = d^2 - R^2 ( vẽ hình nữa thì càng tốt ạ ) cảm ơn

 

Answer 1

Xét ΔOTM vuông tại T có \(OM^2=OT^2+TM^2\)

=>\(TM^2=OM^2-OT^2\)

=>\(MT^2=d^2-R^2\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MTA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến TM và dây cung TA

\(\widehat{TBA}\) là góc nội tiếp chắn cung TA

Do đó: \(\widehat{MTA}=\widehat{TBA}\)

=>\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\)

Xét ΔMTA và ΔMBT có

\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\)

\(\widehat{TMA}\) chung

Do đó: ΔMTA đồng dạng với ΔMBT

=>\(\dfrac{MT}{MB}=\dfrac{MA}{MT}\)

=>\(MT^2=MA\cdot MB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MA\cdot MB=MT^2=d^2-R^2\)