p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p chia hết cho 3, p chia 3 dư 1, p chia 3 dư 2
bạn xét từng trường hợp của p rồi thay vào là được

+) p là số nguyên tố lớn hơn 3 

=> p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

Với p = 3k + 1 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 3k + 2010) ( 3k + 2012 ) = 3( k + 670 ) ( 3k + 2012 ) \(⋮\)3

Với p = 3k + 2 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 3k + 2011) ( 3k + 2013) = 3( 3k + 2011 ) ( k + 671 ) \(⋮\)3

=>  ( p + 2009 ) ( p + 2011 )  \(⋮\)3 (1)

+) p là số nguyên tố lớn hơn 4 

=> p có dạng 4k + 1 hoặc 4k + 3

Với p = 4k + 1 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 4k + 2010) ( 4k + 2012 ) = 8( 2k + 1005 ) ( k + 503 ) \(⋮\)8

Với p = 4k + 3 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 4k + 2012) ( 4k + 2014) = 8( k + 503 ) ( 2k + 1007 ) \(⋮\)8

=> ( p + 2009 ) ( p + 2011 )  \(⋮\)8 (2)

Từ (1) ; (2) và ( 3; 8) = 1; 3.8 = 24

=> ( p + 2009 ) ( p + 2011 )  \(⋮\)24.

Câu hỏi của Đoàn Minh Vũ - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\)p là số lẻ 

Đặt \(p=2k+1\left(k\inℕ,k>1\right)\)

\(\Rightarrow\left(p+2019\right)\left(p+2011\right)=\left(2k+1+2019\right)\left(2k+1+2011\right)\)

     \(=\left(2k+2020\right)\left(2k+2012\right)=4\left(k+1010\right)\left(k+1006\right)⋮4\)

Câu hỏi của Đoàn Minh Vũ - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

2009^2010đồng dư với 1 (theo mod 2010)

Lời giải:

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ lẻ. Do đó $p=4k+1$ hoặc $p=4k+3$ với $k$ là số tự nhiên.

Nếu $p=4k+1$ thì $(p-1)(p+13)=4k(4k+14)=8k(2k+7)\vdots 8$

Nếu $p=4k+3$ thì $(p-1)(p+13)=(4k+2)(4k+16)=8(2k+1)(k+4)\vdots 8$

Vậy $(p-1)(p+13)\vdots 8$ với mọi $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ (1)

Mặt khác:
Vì $p>3, p$ nguyên tố nên $p$ chia $p=3m+1$ hoặc $p=3m+2$ với $m$ tự nhiên.

Nếu $p=3m+1$ thì $p-1=3m\vdots 3\Rightarrow (p-1)(p+13)\vdots 3$

Nếu $p=3m+2$ thì $p+13=3m+15\vdots 3\Rightarrow (p-1)(p+13)\vdots 3$

Vậy $(p-1)(p+13)\vdots 3$ với mọi $p$ nguyên tố > 3 (2)

Từ $(1); (2)$ mà $(3,8)=1$ nên $(p-1)(p+13)\vdots 24$ (đpcm)

nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\) p không chia hết cho 3

p² không chia hết cho 3 ⇒ p² không chia hết cho 24; 

Vậy không tồn tại số nguyên tố nào thỏa mãn đề bài.

Vì p là số nguyên tố >3 nên p là số lẻ

→ 2 số p-2,p+1 là 2 số chẵn liên tiếp

→(p-2)(p+1) ⋮ cho 8 (1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên

→ p=3k+1 hoặc p=3k+2 (k thuộc N*)

+)Với p=3k+1 → (p-2)(p+1)=3k(3k+2) ⋮ cho 3 (*)

+) Với p=3k+2 → (p-2)(p+1)=(3k-1).3.(k+1) ⋮ 3 (**)

Từ (*) và (**) →(p-2)(p+1) ⋮ 3 (2)

Vì (8;3)=1 → từ (1) và (2) => (p-2)(p+1) ⋮ 24