Bài 14: Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố

TH1: các số p_i đều lớn hơn 2
do p​_i nguyên tố => p_i có dạng 4n+1 hoặc 4n+3

=> p_i² chia 4 luôn dư 1
p_1² + p_2² + ... +p_7² chia 4 dư 3
hay VT có dạng 4k+3
Mà VP là p_8² ( với p₈ là số chính phương ) có dạng 4t+1

=>TH1 vô nghiệm

TH2. có 1 số nguyên tố chẵn (=2) , các số còn lại lẻ
Giả sử số nguyên tố chẵn đó là p_1²​​ , khi đó VT là một chẵn VT >2
=> p​​₈ phải là số chẵn => p₈= 2 . Vì VT >2 , VP = 2
Vậy trường hợp này loại

TH3. số số p₂ =2 là số chẵn ,giả sử có 2 số p₁,p₂

Khi đó p_1² +p_2² chia hết cho 8
=> p_3² + p_4² + ... + p_{7² chia 8 dư 7 => VT chia 8 dư 7}
mà VP= p_8² chia 8 dư 1
=> TH3 vô nghiệm

TH4: VT có 6 số = 2 , 1 số >2 , giả sử p₁₌p_{2 =} ... =p6 =2 ,p_{7 > 2}

24 + p_7² =p₈2

giải hệ nghiệm nguyên

sau đó suy ra p₇=5 , p₈= 7

vậy các số cần tìm là 2,2,2,2,2,2,5,7

6+7 =13(số nguyên tố) (vì chỉ có 2 tự nhiên là 1 và 13)

3.10-2.9=30-18=12(hợp số)(vì ngoài 1 và chính nó còn ước khác là 2;3;4;6;12)

383+972=1355(hợp số)(vì ngoài 1 và chính nó còn ước khác là 5)

11.13.17+19.23.29=15104(hợp số)(vì ngoài 1 và chính nó còn có ước khác là 2)

17.5.6-17.29=17(số nguyên tố)(vì chỉ có 2 ước tự nhiên là 1 và chính nó)

1) 6 và 7 có ƯCLN là 1 nên 6 + 7 là số nguyên tố.

2) Vì 3.10 chia hết cho 3, 2.9 chia hết cho 3 nên 3.10 - 2.9 chia hết cho 3 nên 3.10 - 2.9 là hợp số.

3) 383 + 972 có chữ số tận cùng là 5 nên 383 + 972 chia hết cho 5 nên 383 + 972 là hợp số.

4) Vì 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 là các số lẻ nên 11.13.17 , 19.23.29 là các số lẻ nên 11.13.17+19.23.29 là số chẵn nên 11.13.17+19.23.29 chia hết cho 2 nên 11.13.17+19.23.29 là hợp số.

5) Ta có 5.6-29=1 mà 17 là số nguyên tố nên 17.5.6 -17.29 là số nguyên tố.

Xét trường hợp: \(p=2\Rightarrow p+14=2+14=16\left(l\right)\)

Xét trường hợp: \(p=3\Rightarrow p+14=3+14=17;p+16=3+16=19\left(n\right)\)

Xét \(p>3\Rightarrow p\) có một trong hai dạng: \(3k+1;3k-1\)

+) Với \(p=3k+1\Rightarrow p+14=3k+1+14=3k+15⋮3\)

+) Với \(p=3k-1\Rightarrow p+16=3k-1+16=3k+15⋮3\)

Vậy số nguyên tố \(p=3\) thì \(p+14;p+16\) cùng là số nguyên tố.

Xét:

Nếu n=2 thì 2+10=12(hợp số) ; 2+14=16(hợp số) loại

Nếu n=3 thì 3+10=13(số nguyên tố);3+14=17(số nguyên tố ) chọn

Nếu n >3 thì sẽ được viết dưới dạng: 3k+1;3k+2

Với 3k+1 thì:

3k+1+14=3k+15(hợp số ) vì 3k là hợp số và 15 là hợp số(loại)

Với 3k+2 thì:

3k+2+10=3k+12(hợp số) (vì 3k là hợp số,12 cũng là hợp số)\

Vậy n=3

các câu sau làm tương tự

on muộn thế

Ta có: Xét:

Nếu p=2 thì:

\(p+10=12;p+14=16\)(hợp số,loại)

Nếu p=3 thì:

\(p+10=13;p+14=17\)(SNT,chọn)

Nếu p là SNT >3 thì có dạng:

\(3k+1;3k+2\)

\(+3k+1+14=3k+15\)(hợp số,loại)

\(3k+2+10=3k+12\)(hợp số.loại)

\(\Leftrightarrow p=3\)

a. Nếu p = 2k => p = 2 => p + 10 và p + 14 đều là hợp số. (không TM)

b. Nếu p = 2k + 1 thì p có dạng 3k, 3k + 1. 3k + 2

Nếu p = 3k => p = 3 => p + 10 = 13 và p + 14 = 17 (13;17 là số nguyên tố nên thỏa mãn)

Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) chia hết cho 3 (không TM vì là hợp số)

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 10 + 2 = 3k + 12 = 3(k + 4) chia hết cho 3 (không TM vì là hợp số)

Vậy: p = 3 thì p + 10 và p + 14 là số nguyên tố.

Ta có: \(P\) là số nguyên tố.

* Xét \(P=3\) ta có \(8P-1=23\)là SNT

\(\Rightarrow\)\(8P+1=25\)là HS (T/m).

* Xét \(P\ne3\), \(P\) là SNT \(\Rightarrow P⋮3̸\)

\(\Rightarrow P\)là 1 trong các dạng \(3k+1,3k+2\left(k\in N\right)\)

Nếu \(P=3k+1\Rightarrow8P-1=8.\left(3k+1\right)-1=24k+8-1=24k+7\)

Ta thấy \(24k⋮3,7⋮3̸\)\(\Rightarrow8P-1⋮3̸\)

Mà \(P\) nguyên tố \(\Rightarrow8P-1>3\)

\(\Rightarrow8P-1\)là hợp số (loại).

\(\Rightarrow P=3k+2\Rightarrow8P+1=8.\left(3k+2\right)+1=24k+17\)

Ta thấy \(24k⋮3,17⋮3̸\)\(\Rightarrow8P+1⋮3̸\)

\(\Rightarrow8P+1>3\Rightarrow8P+1\)là hợp số (T/m).

Vậy nếu \(P\) và \(8P-1\)là 2 SNT thì \(8P+1\)là hợp số (Đpcm).

Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu p và 8p² + 1 là hai số nguyên tố thì 8p² - 1 là số nguyên tố.

Giải: Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 thế thì p có dạng 3k \(\pm\) 1 (k \(\in\) N)

=> p² = (3k + 1)² = 3(3k² \(\pm\) 2k) + 1 = 3t + 1

=> 8p² +1 = 8( 3t + 1) + 1 = 24t + 9 \(⋮\)3 => 8p² + 1 là hợp số (trái giả thiết)

Vậy p = 3k, p nguyên tố => p = 3

8p² + 1 = 8.3² + 1 = 73 ( nguyên tố)

8p² – 1 = 8.3² – 1 = 71 ( nguyên tố)

Vậy p và 8p² + 1 là hai số nguyên tố thì 8p² - 1 là số nguyên tố.

Nguồn: Google

+) Nếu n=0 thì n+9=0+9=9 là hợp số => n=0 không thỏa mãn

+) Nếu n=1 thì n+3=1+3=4 là hợp số => n=1 không thỏa mãn

+) Nếu n=2 thì n+7=2+7=9 là hợp số => n=2 không thỏa mãn

+) Nếu n=3 thì n+1=3+1=4 là hợp số => n=3 không thỏa mãn

+) Nếu n=4 thì:

n+1=1+1=2 là số nguyên tố

n+3=4+3=7 là số nguyên tố

n+7=4+7=11 là số nguyên tố

n+9=4+9=13 là số nguyên tố

n+13=4+13=17 là số nguyên tố

n+15=4+15=19 là số nguyên tố

=> n=4 thỏa mãn các số n+1; n+3; n+7; n+9; n+13; n+15 đều là các số nguyên tố

+) Nếu \(n\ge5\) thì ta có:

\(n⋮5\Rightarrow\) \(n+15⋮5\) => n+15 là hợp số

n chia 5 dư 1 \(\Rightarrow n+9⋮5\) => n+9 là hợp số

n chia 5 dư 2 \(\Rightarrow n+3⋮5\) => n+3 là hợp số

n chia 5 dư 3 \(\Rightarrow n+7⋮5\) => n+7 là hợp số

n chia 5 dư 4 \(\Rightarrow n+1⋮5\) => n+1 là hợp số

==> \(n\ge5\) không thỏa mãn

Vậy n=4

Ta có: Xét:

+n=0\(n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15\)(hợp số,loại)

+n=1

\(n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16\)(hợp số,loại)

+n=2

\(n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17\)(hợp số,loại)

+n=3

\(n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18\)(hợp số,loại)

+n=4

\(n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19\)(SNT,chọn)

Nếu n>4 sẽ có dạng 4k+1;4k+2;4k+3

+n=4k+1

\(\Leftrightarrow n+3=4k+1+3=4k+4\)(hợp số,loại)

+n=4k+2

\(n+13=4k+2+13=4k+15\)(hợp số,loại)

+n=4k+3

\(n+3=4k+3+3=4k+6\)(hợp số,loại)

\(\Leftrightarrow n=4\)