Question

Tìm 8 số nguyên tố

thỏa mãn \(p_1^2+p_2^2+p_3^2+p^2_4+p^2_5+p^2_6+p_7^2=p_8^2\)

Answer 1

TH1: các số p_i đều lớn hơn 2
do p​_i nguyên tố => p_i có dạng 4n+1 hoặc 4n+3

=> p_i² chia 4 luôn dư 1
p_1² + p_2² + ... +p_7² chia 4 dư 3
hay VT có dạng 4k+3
Mà VP là p_8² ( với p₈ là số chính phương ) có dạng 4t+1

=>TH1 vô nghiệm

TH2. có 1 số nguyên tố chẵn (=2) , các số còn lại lẻ
Giả sử số nguyên tố chẵn đó là p_1²​​ , khi đó VT là một chẵn VT >2
=> p​​₈ phải là số chẵn => p₈= 2 . Vì VT >2 , VP = 2
Vậy trường hợp này loại

TH3. số số p₂ =2 là số chẵn ,giả sử có 2 số p₁,p₂

Khi đó p_1² +p_2² chia hết cho 8
=> p_3² + p_4² + ... + p_{7² chia 8 dư 7 => VT chia 8 dư 7}
mà VP= p_8² chia 8 dư 1
=> TH3 vô nghiệm

TH4: VT có 6 số = 2 , 1 số >2 , giả sử p₁₌p_{2 =} ... =p6 =2 ,p_{7 > 2}

24 + p_7² =p₈2

giải hệ nghiệm nguyên

sau đó suy ra p₇=5 , p₈= 7

vậy các số cần tìm là 2,2,2,2,2,2,5,7