\(\overline{xy}=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=10x+y\)

\(\Leftrightarrow x^2-12x+y^2-3y+2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-48x+4y^2-12y+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^2-2.2x.12+144+\left(2y\right)^2-2.2y.3+9-145=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-12\right)^2+\left(2y-3\right)^2=145\)

mà \(145=12^2+1^2=9^2+8^2\)

và \(\left\{{}\begin{matrix}2x-12>-12\\2y-3>-3\end{matrix}\right.\) (x, y nguyên dương)

và \(2y-3\) là số lẻ

=> Có 2 trường hợp có thể xảy ra:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-12=12\\2y-3=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=12\\y=2\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-12=8\\2y-3=9\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=6\end{matrix}\right.\)

Vậy (x ; y) = (12 ; 2) ; (10 ; 6)

Để 2a+5/a+1 là số nguyên

=>2a+5 chia hết cho a+1

=>2a+2+3 chia hết cho a+1

=>2.(a+1)+3 chia hết cho a+1

=>3 chia hết cho a+1

=>a+1=Ư(3)=(-1,-3,1,3)

=>a=(0,-2,2,4)

Vậy a=0,-2,2,4

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}-\sqrt{1-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{4+2\sqrt{3}}{4}}-\sqrt{\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\right)-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\left|\sqrt{3}+1\right|-\left|\sqrt{3}-1\right|\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1\right)=1\left(\text{đ}pcm\right)\)

Kẻ BD _I_ AC và CE _I_ AB.

\(\Delta DAB\) vuông tại D ~ \(\Delta EAC\) vuông tại E \(\left(\widehat{A}chung\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{DA}{EA}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AD\times AC=AE\times AB\left(1\right)\)

\(\Delta MAC\) vuông tại M, \(MD\perp AC\)

\(\Rightarrow AM^2=AD\times AC\) (hệ thức lượng) (2)

\(\Delta NAB\) vuông tại N, \(NE\perp AB\)

\(\Rightarrow AN^2=AE\times AB\) (hệ thức lượng (3)

~*~*~*~*~

(1), (2) và (3) => đpcm

Bạn cũng có thể giải bằng cách đặt \(x=\dfrac{a}{a+b};y=\dfrac{b}{b+c};z=\dfrac{c}{a+c}\).

\(\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}\times\dfrac{b+c}{b}\times\dfrac{a+c}{c}=8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=8abc\)

~*~*~*~*~

\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}\)

\(=\dfrac{3}{4}+\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{ac}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{ac}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}\left(1-\dfrac{b}{b+c}\right)+\dfrac{b}{b+c}\left(1-\dfrac{c}{c+a}\right)+\dfrac{c}{a+c}\left(1-\dfrac{a}{a+b}\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}\times\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{b+c}\times\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\times\dfrac{b}{a+b}\)

\(=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)=\dfrac{3}{4}\times8abc\)

\(\Leftrightarrow ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+2abc=8abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=8abc\) luôn đúng

=> (1) đúng

b)

Trên đoạn thẳng AB, lấy điểm E sao cho AD = AE.

AD là đường phân giác của tam giác ABC

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)

Tam giác ABC có AD là đường phân giác

=> \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD+DC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\) (tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

Tam giác ADE có: AD = AE, \(\widehat{DAE}=60^0\)

=> Tam giác ADE đều

=> \(\widehat{EDA}=\widehat{DAC}\left(=60^0\right)\) mà chúng nằm ở vị trí so le trong

=> ED // AC

\(\Rightarrow\dfrac{ED}{AC}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB\times AC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\left(\text{đ}pcm\right)\left(ED=AD\right)\)

a)

Kẻ DH _I_ AB và DK _I_ AC.

\(\widehat{DHA}=\widehat{HAK}=\widehat{AKD}=90^0\)

=> AKDH là hình chữ nhật có AD là đường phân giác

=> AKDH là hình vuông

=> AK = KD = DH = HA

Tam giác KAD vuông cân tại A có:

\(AD=\sqrt{2}AK\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{1}{AK}\left(1\right)\)

~*~*~*~*~

\(S_{DAB}+S_{DAC}=S_{ABC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}DH\times AB+\dfrac{1}{2}KD\times AC=\dfrac{1}{2}AB\times AC\)

\(\Leftrightarrow AK\times\left(AB+AC\right)=AB\times AC\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB+AC}{AB\times AC}=\dfrac{1}{AK}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{AK}\left(2\right)\)

~*~*~*~*~

(1) và (2) => đpcm

Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu p và 8p² + 1 là hai số nguyên tố thì 8p² - 1 là số nguyên tố.

Giải: Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 thế thì p có dạng 3k \(\pm\) 1 (k \(\in\) N)

=> p² = (3k + 1)² = 3(3k² \(\pm\) 2k) + 1 = 3t + 1

=> 8p² +1 = 8( 3t + 1) + 1 = 24t + 9 \(⋮\)3 => 8p² + 1 là hợp số (trái giả thiết)

Vậy p = 3k, p nguyên tố => p = 3

8p² + 1 = 8.3² + 1 = 73 ( nguyên tố)

8p² – 1 = 8.3² – 1 = 71 ( nguyên tố)

Vậy p và 8p² + 1 là hai số nguyên tố thì 8p² - 1 là số nguyên tố.

Nguồn: Google

Mark the letter A, B, C, or D on your answer sheet to indicate the sentence that best combines each pair of sentences in the following questions from 3 to 4.

Some economists argue that new technology cause unemployment. Others feel that  it allows more jobs to be created.

A. Some economists argue that new technology causes unemployment, so others feel that it allows more jobs to be created

B. Arguing that new technology causes unemployment, other economists feel that it allows more jobs to be created

C. Besides the argument that new technology causes unemployment, some economists feel that it allows more jobs to be created

D. Some economists argue that new technology causes unemployment whereas others feel that it allows more jobs to be created