\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-\)\(2bc\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2\)\(+b^2-2bc+c^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi a,b,c) đpcm

chúc bạn học tốt. mk cũng 2k5 nhé, kb mk

Điều cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) (đúng)

Suy ra đpcm.

a^2-b^2-c^2-ab-ac-bc

=2a^2-2b^2-2c^2-2ab-2ac-2bc

=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)

=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2

Ta có (a-b)^2 lớn hơn 0 hoặc bằng 0.        (b-c)^2 lớn hơn hoặc bằng 0

           (a-c)^2 lớn hơn hoặc bằng 0

=>(a-b^2+(b-c)^2+(a-c)^2 lớn hơn hoặc bằng 0

vậy a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc lớn hơn hoặc bằng 0

bạn trần ngọc mai sai rồi vì dấu "=" xảy ra <=>a=b=c mà đề bài cho a,b,c khác nhau mà bạn.

        \(\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)

     \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra   \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

\(< =>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(< =>\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(c^2+a^2-2ca\right)\ge0\)

\(< =>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy ta có điều phải chứng mịnh

\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)(*)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)( Đúng )

Vậy (*) đúng

=> đpcm

Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c 

cảm ơn các cậu~

n là tham số hay sao ah? 

Anh quên mất  \(n\ge0\)

Với n = 1 đó là một kết quả rất quen thuộc:))  thôi em vào bài luôn, ko thì bị nhiều bạn bảo "nói linh tinh":v Em thử, ko chắc đâu nha, a thử check xem.

Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 trong 3 số a - n; b - n; c - n đồng dấu. Giả sử 2 số đó là a -n và b - n.

Thế thì \(\left(a-n\right)\left(b-n\right)\ge0\Rightarrow2abc\ge2acn+2bcn-2cn^2\)

Suy ra  \(LHS\ge n\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(2acn+2bcn-2cn^2\right)+n^3\)

\(=n\left(a^2+b^2\right)+nc^2+n^3-2cn^2+2n\left(ac+bc\right)\)

\(\ge2n\left(ab+bc+ca\right)+nc^2+n^3-2cn^2\)

\(=2n\left(ab+bc+ca\right)+n\left(c^2+n^2-2cn\right)\)

\(=2n\left(ab+bc+ca\right)+n\left(c-n\right)^2\ge2n\left(ab+bc+ca\right)=RHS\)

Vậy ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=n\)

có 1 cách mà xài SOS xấu lắm chơi ko :))

tìm thấy rồi Tổng hợp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức-Tập 2: Luyện thi học sinh giỏi toán - Tổng hợp - Google Sách

đây nhé có phải là

\(a-\frac{a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a^3+3abc-a\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+3bc}=\frac{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{a^2+3bc}+\frac{3abc}{a^2+3bc}\)

Đến khi cộng vào thì phải là \(3abc\left(\frac{1}{a^2+3bc}+\frac{1}{b^2+3ac}+\frac{1}{c^2+3ab}\right)\ge\frac{3abc.9}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\)

a: Ta có: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

=>a=b=c

b: ta có: \(x^2+x+1\)

\(=x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

Ta có: \(x^2-x+1\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)