Xét ΔCAB có CB=CA

nên ΔCAB cân tại C

mà CD là đường trung tuyến

nên CD là đường cao

2: Xét tứ giác ABDE có 

C là trung điểm của BE

C là trung điểm của AD

Do đó: ABDE là hình bình hành

Suy ra: AB//DE

a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

BM=CM

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

=>\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

mà tia AM nằm giữa hai tia AB,AC

nên AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

b: Xét ΔCBD có CB=CD

nên ΔCBD cân tại C

Ta có: ΔCBD cân tại C

mà CN là đường phân giác

nên CN\(\perp\)BD

c: Ta có: \(\widehat{ADC}+\widehat{CDB}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{BCE}+\widehat{ACB}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ACB}\left(=\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{ADC}=\widehat{BCE}\)

ΔCBD cân tại C

mà CN là đường cao

nên N là trung điểm của BD

=>BD=2BN

Xét ΔADC và ΔECB có

AD=EC

\(\widehat{ADC}=\widehat{ECB}\)

DC=CB

Do đó: ΔADC=ΔECB

=>EB=AC

=>EB-AC=AC-CE=AB-AD=BD=2BN

a) Ta có: AC vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác CBD

=> Tam giác CDB cân tại C

b) Ta có: AM song song với BC(gt) và A là trung điểm của DB

=> M cũng là trung điểm của CD (Định lý về đường trung bình)

c) M là trung điểm của CD (theo câu b) và N là trung điểm của CB(gt)

=> MN là đường trung bình của tam giác CBD => MN // DB

\(4.\)- Vì \(\Delta CBD\)cân tại \(C\)(cmt)  \(\Rightarrow\) \(CA\)là tia phân giác \(\widehat{BCD}\)
                                                         \(\Rightarrow\) \(\widehat{BCD}=2.\widehat{BCA}=2.30^0=60^0\)
- Xét \(\Delta BCA\)vuông tại \(A\) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=90^0\)                   
                                              \(\Rightarrow\)\(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{BCA}=90^0-30^0=60^0\)
- Xét \(\Delta CBD\)có \(\widehat{BCD}=60^0;\)\(\widehat{ABC}=60^0\) \(\Rightarrow\) \(\Delta CBD\)đều
- Xét  \(\Delta CBD\)đều  có:
  \(\cdot\) \(M\)là trung điểm của \(DC\) (cmt)   suy ra  \(BM\) là đường trung tuyến của \(DC\)
  \(\cdot\) \(A\) là trung điểm của \(DB\) (gt)      suy ra  \(CA\) là đường trung tuyến của \(DB\)
mà   \(BM\)cắt \(CA\) tại \(G\)  (gt)  suy ra \(G\)là trọng tâm của \(\Delta CBD\)
     nên  \(BG=2.GM=2.3=6\left(cm\right)\)
- Vì    \(\Delta CBD\)đều nên \(BM=CA\)suy ra \(GA=GM=3cm\)
- Xét \(\Delta ABG\) vuông tại \(A\)theo định lý Py-ta-go,
   ta được:           \(AB^2=BG^2-AG^2=6^2-3^2=27\)(cm)
                \(\Rightarrow\)  \(AB=\sqrt{27}\)       

 

Xét \(\Delta BCD\)ta có:

CA là đường trung tuyến ( A là trung điểm của DB)

BM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của CD)

BM cắt CA tại G (gt)

\(\Rightarrow\)G là trọng tâm của \(\Delta BCD\)

\(\Rightarrow MG=\frac{1}{3}BM\)

\(\Rightarrow BM=3MG=3\cdot3=9\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A ta có:

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)

\(\widehat{ABC}+30^o=90^o\)

\(\widehat{ABC}=90^o-30^o=60^o\)

Mà \(\Delta BCD\)cân tại C ( cmt)

Nên \(\Delta BCD\)đều

Mặt khác BM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của CD)

\(\Rightarrow\)BM là đường cao của \(\Delta BCD\)

\(\Rightarrow BM⊥CD\)tại M

\(\Rightarrow\Delta BMD\)vuông tại M

\(\Rightarrow BD^2=DM^2+BM^2\)( ĐL Py - ta - go thuận)

\(\Rightarrow DM^2-BD^2+9^2=0\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}DM^2-BD^2+81=O\left(cmt\right)\\DM=\frac{1}{2}CD\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}CD\right)^2-BD^2+81=0\)

Mà CD = BD ( \(\Delta BCD\)đều)

Nên \(\frac{1}{4}BD^2-BD^2+81=0\)

\(-\frac{3}{4}BD^2+81=0\)

\(BD^2=81\cdot\frac{4}{3}=108\)

\(BD=\sqrt{108}\left(cm\right)\)

Ta có:

\(AB=\frac{BD}{2}\)( A là trung điểm của DB)

\(AB=\frac{\sqrt{108}}{2}\)

a: Xét ΔACD vuông tại D và ΔABC vuông tại C có

góc A chung

=>ΔACD đồng dạng với ΔABC

b: ΔBDC vuông tại D có DE là trung tuyến

nên ED=EB

=>góc EBD=góc EDB

=>góc EDB=góc DCA

a) Xét ΔNAB có 

I\(\in\)NI(gt)

M\(\in\)NB(gt)

IM//AB(gt)

Do đó: \(\dfrac{NI}{AI}=\dfrac{NM}{BM}\)(Định lí Ta lét)

\(\Leftrightarrow\dfrac{NI}{AI}=1\)

\(\Leftrightarrow NI=AI\)

mà A,I,N thẳng hàng(gt)

nên I là trung điểm của AN(Đpcm)