Khai bút thoi nào,hy vọng năm mới nhiều may mắn  :)

Ký hiệu như hình vẽ nhá :)

Áp dụng định lý đường phân giác ta có:

\(\frac{CE}{CA}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{CE}{CA+CE}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow\frac{CE}{b}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow CE=\frac{ab}{a+c}\)

Áp dụng định lý đường phân giác lần nữa:

\(\frac{BO}{OE}=\frac{BC}{CE}=a\cdot\frac{a+c}{ab}=\frac{a+c}{b}\Rightarrow\frac{BO}{OE+OB}=\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{BO}{BE}\)

Chứng minh tương tự:\(\frac{CO}{CF}=\frac{a+b}{a+b+c}\)

Mà \(\frac{BO}{BE}\cdot\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\) nên \(\frac{a+c}{a+b+c}\cdot\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2a^2+2ab+2ac+2cb=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2\)

=> đpcm

zZz Cool Kid_new zZz olm giờ nát vậy sao em :(

a: Xét ΔAEB và ΔAFC có 

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)

AB=AC

\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: ΔAEB=ΔAFC
Suy ra: AE=AF

b: Xét ΔABC có AE/AB=AF/AC

nên EF//BC

c: Xét ΔFBI và ΔECI có 

\(\widehat{FBI}=\widehat{ECI}\)

FB=EC

\(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)

Do đó: ΔFBI=ΔECI

Suy ra: IB=IC

hay I nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: AB=AC

nên A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AI\(\perp\)BC

d: Xét ΔBIC có IB=IC

nên ΔBIC cân tại I

Bạn ơi mik ko làm được nữa mik viết giàn ý đc ko

Giàn ý: 

a)    C/M 2 tam giác trên bằng nhau theo trương hợp cạnh huyền góc nhọn

=>BE =EF( vì là 2 cạnh t/ư) 

b)     C/M AE=AF( theo phương pháp cộng đoạn thẳng)

         C/M 2 tam giác AOF = AOE ( cạnh huyền cạnh góc vuông) 

         => 2 góc FAO = OAE (vì là 2 góc t/ư )

         Mà tia AO nằm trong góc FAE nên Ao là tia pg của góc FAE

c)      Gọi điểm ở giữa B và C là K

         C/M 2 tam giác AKB = AKC (c.g.c)

          =>góc AKB = góc AKC( vì.....)

          Mà 2 góc đó cộng vs nhau bằng 180 độ( kb)

          => 1 trong 2 góc bằng 90 độ

          => AK ( hoặc AO) vuông góc vs BC

có gì sai sót mong bạn thông cảm

 nếu đúng mik nha
 

a: Xet ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

AB=AC
\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACF

b: Xét ΔAFM vuông tại F và ΔAEM vuông tại E có

AM chung

AF=AE

Do đó: ΔAFM=ΔAEM

Suy ra: \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

hay AM là tia phân giác của góc BAC

Chịu !!

:)) giúp ik

mk bt , cơ mà lười lắm , sorry . 

cho bn giợi ý nhé .

 - hãy đổi tầm nhìn của bn để thấy điều đặc biệt và cách để làm bài

Áp dụng định lý dường phân giác: "Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thảng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy"

Xét tg BCE có 

\(\frac{BO}{EO}=\frac{BC}{CE}\Rightarrow\frac{BO}{BC}=\frac{EO}{CE}=\frac{BO+EO}{BC+CE}=\frac{BE}{BC+CE}\Rightarrow\frac{BO}{BE}=\frac{BC}{BC+CE}\) 

Xét tg BCF có

\(\frac{CO}{FO}=\frac{BC}{BF}\Rightarrow\frac{CO}{BC}=\frac{FO}{BF}=\frac{CO+FO}{BC+BF}=\frac{CF}{BC+BF}\Rightarrow\frac{CO}{CF}=\frac{BC}{BC+BF}\)

\(\Rightarrow\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{BC.BC}{\left(BC+CE\right)\left(BC+CF\right)}=\frac{BC^2}{\left(BC+CE\right)\left(BC+BF\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2.BC^2=\left(BC+CE\right)\left(BC+BF\right)=BC^2+BC.BF+BC.CE+CE.CE\)

\(\Rightarrow BC^2=BC.BF+BC.CE+CE.BF\) (*)

Xét tg ABC cũng áp dụng định lý đường phân giác có

\(\frac{BF}{AF}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow\frac{BF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{BF+AF}{BC+AC}=\frac{AB}{BC+AC}\Rightarrow BF=\frac{BC.AB}{BC+AC}\)  (1)

\(\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow\frac{CE}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{CE+AE}{BC+AB}=\frac{AC}{BC+AB}\Rightarrow CE=\frac{BC.AC}{BC+AB}\) (2)

Thay (1) và (2)  vào (*) ta có

\(BC^2=\frac{BC.BC.AB}{BC+AC}+\frac{BC.BC.AC}{BC+AB}+\frac{BC.AC.BC.AB}{\left(BC+AB\right)\left(BC+AC\right)}\)

\(\Rightarrow1=\frac{AB}{BC+AC}+\frac{AC}{BC+AB}+\frac{AC.AB}{\left(BC+AB\right)\left(BC+AC\right)}\)

=> (BC+AB)(BC+AC)=AB(BC+AB)+AC(BC+AC)+AB.AC

=> BC²+AC.BC+AB.BC+AB.AC=AB.BC+AB²+AC.BC+AC²+AB.AC => BC²=AB²+AC²

=> tam giác ABC vuông tại A (định lí pitago đảo)

a) Tam giác ABE ( góc E=90 độ) và Tam giác ACF ( góc F=90 độ), có:

AB = AC ( gt ) 

Góc A chung

=> tam giác ... = tam giac ... ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> BE = CF và góc ABE = góc ACF

b) Tam giác FCB ( góc F = 90 độ) và tam giác BEC ( góc E=90 độ), có:

BC chung

FC = EB ( c/m trên)

=> tam giác... = tam giác... ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> FB=EC

Tam giác ECI và tam giác FBI, có:

EC=FB (c/m trên)

góc E= góc F (=90 độ)

góc ACF = góc ABE (c/m trên)

=> tam giác ...= tam giác... (g-c-g)

c) Ta có: FA=AB - FB

              EA=AC - EC

mà AB=AC; FB=EC

=> FA=EA

tam giác AIF(F=90 độ) tam giác AIE (E = 90 độ), có:

AI chung

FA=EA (c/ m trên)

=> tam giác... = tam giác... (  cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> góc BAI = góc CAI

hay AI là phân giác của góc A

a/ Giải thích thêm: Vì AB = AC (tam giác ABC cân tại A. Mà E là trung điểm AC;F là trung điểm AB => AF = BF = AE = EC)

Xét tam giác BAE và tam giác CAF có:

    \(\hept{\begin{cases}\widehat{BAC}:chung\\AB=AC\left(gt\right)\\AE=AF\left(gt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow BE=CF\)

b/ Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BE;CF cắt nhau tại O

=> O là trọng tâm tam giác ABC

=> AO là đường trung tuyến thứ 3

=> AO đi qua trung điểm H của BC (Bạn bổ sung điểm H cho mình nhá - Cho dễ làm thôi)

Mà tam giác ABC cân tại A => AO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

\(\Rightarrow AO⊥BC\)tại H

c/ Vì H là trung điểm BC => HB = HC = BC:2 = 10 : 2 = 5 (cm)

 Xét tam giác ABH vuông tại H có:

\(AH^2+BH^2=AB^2\left(pytago\right)\)

\(AH^2+5^2=13^2\)

\(\Rightarrow AH^2=13^2-5^2=169-25=144\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{144}=12\left(cm\right)\)

Vì O là trọng tâm của tam giác ABC => \(OH=\frac{1}{3}AH\Rightarrow OH=\frac{1}{3}.12=4\left(cm\right)\)

Xét tam giác BOH vuông tại H có:

\(BH^2+OH^2=BO^2\left(pytago\right)\)

\(5^2+4^2=BO^2\)

\(25+16=BO^2\)

\(41=BO^2\)

\(\Rightarrow BO=\sqrt{41}\approx6,4\left(cm\right)\)