1) \(\Delta AOC\)cân tại O có OD là đường cao nên cũng là phân giác của \(\widehat{AOC}\), do đó \(\widehat{AOD}=\widehat{COD}\Rightarrow\widebat{AD}=\widebat{DM}\)

nên DA = DM. Vậy tam giác AMD cân tại D (đpcm)

2) Dễ thấy \(\Delta OEA=\Delta OEC\left(c-g-c\right)\), từ đó suy ra được \(\widehat{OAE}=\widehat{OCE}=90^0\)

Do đó \(AE\perp AB\). Vậy AE là tiếp tuyến chung của \(\left(O\right)\)và \(\left(O'\right)\)

3) Giả sử AM cắt \(\left(O\right)\)tại \(N'\). Ta có \(\Delta OAN'\)cân tại O và \(OM\perp AN'\)nên OM là đường trung trực của AN'. Từ đó ta được CA = CN'

Ta có \(\widehat{CN'A}=\widehat{CAM}\) mà \(\widehat{CAM}=\widehat{DOM}\), do đó \(\widehat{CN'H}=\widehat{COH}\). Suy ra bốn điểm C, N', O, H thuộc một đường tròn. Suy ra N' thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CHO\). Do vậy \(N'\equiv N\)

Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng (đpcm)

4) Vì ME song song với AB và \(AB\perp AE\)nên \(ME\perp AE\)

Ta có hai tam giác MAO, EMA đồng dạng nên \(\frac{MO}{EA}=\frac{MA}{EM}=\frac{AO}{MA}\Rightarrow MA^2=AO.EM\)

Dễ thấy \(\Delta MEO\) cân tại M nên ME MO. = Thay vào hệ thức trên ta được\(MA^2=AO.MO\)

Đặt MO = x > 0 \(\Rightarrow MA^2=OA^2-MO^2=a^2-x^2\) 

Từ \(MA^2=AO.MO\)  suy ra \(a^2-x^2=ax\Leftrightarrow x^2+ax-a^2=0\)

Từ đó tìm được \(x=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)

Vậy \(OM=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ANB=90\)

\(\Rightarrow\angle FNB+\angle FCB=90+90=180\Rightarrow BCFN\) nội tiếp

b) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\) 

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ADB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ADB=\angle ACE=90\\\angle BAEchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ACE\sim\Delta ADB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow AD.AE=AB.AC\)

a: góc BNA=1/2*180=90 độ

góc FNB+góc FCB=180 độ

=>FCBN nội tiếp

b: góc ADB=1/2*180=90 độ

Xét ΔADB vuông tạiD và ΔACE vuông tại C có

góc A chung

=>ΔADB đồng dạng với ΔACE
=>AD/AC=AB/AE

=>AC*AB=AD*AE

c: Xét ΔEAB có

EC,AN là đường cao

EC cắt AN tại F

=>F là trực tâm

=>BF vuông góc AE

mà BD vuông góc AE

nên B,F,D thẳng hàng

A,D,N,B cùng thuộc (O)

nên ADNB nội tiếp

=>góc ADN+góc ABN=180 độ

=>góc EDN=góc EBA

A,D,N,B cùng thuộc (O)

nên ADNB nội tiếp

=>góc ADN+góc ABN=180 độ

=>góc EDN=góc EBA

1) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\) mà \(\angle ECB=90\Rightarrow BCDE\) nội tiếp

2) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}EF\bot AB\\AF\bot EB\end{matrix}\right.\Rightarrow F\) là trực tâm tam giác EAB \(\Rightarrow BF\bot AE\)

mà \(BD\bot AE\left(\angle BDA=90\right)\Rightarrow B,F,D\) thẳng hàng

Ta có: \(\angle FNB+\angle FCB=90+90=180\Rightarrow FNBC\) nội tiếp

Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta ABN:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ACF=\angle ANB=90\\\angle NABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AFC\sim\Delta ABN\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AB}{AN}\Rightarrow AF.AN=AB.AC\)

Tương tự \(\Rightarrow BF.BD=BC.BA\)

\(\Rightarrow AF.AN+BF.BD=AB.AC+AB.BC=AB^2=4R^2\)

3) Gọi G là giao điểm của (AEF) và AB

Ta có: \(\angle FGB=\angle AEF\left(AEFGnt\right)=\angle DBA\left(BCDEnt\right)\Rightarrow\Delta GFB\) cân tại F có \(FC\bot GB\Rightarrow CB=CG\)

mà C,B cố định \(\Rightarrow G\) cố định

Vì AEFG nội tiếp \(\Rightarrow I\in\) trung trực AG mà A,G cố định \(\Rightarrow\) đpcm

a, Xét (O) có : 

^AMB = 90⁰ ( góc nt chắn nửa đường tròn ) 

=> ^DMA = 90⁰

Xét tứ giác ACMD có : 

^ACD = ^DMA = 90⁰

mà 2 góc này kề nhau, cùng nhìn cạnh AD 

Vậy tứ giác ACMD là tứ giác nt 1 đường tròn 

b, Vì tứ giác ACMD là tứ giác nt 1 đường tròn 

=> ^HNM = ^HDM ( góc nt cùng chắn cung HM ) (1) 

^BNM = ^MAB ( góc nt cùng chắn cung BM ) (2) 

Từ (1) ; (2) => ^HDM = ^MAB 

Xét tam giác CAH và tam giác CDB có : 

^ACH = ^DCB = 90⁰

^CAH = ^CDB ( cmt ) 

Vậy tam giác CAH ~ tam giác CDB (g.g) 

=> CA/CD = CH/BC => AC.BC = CH.CD