\(\left(a^2+b^2+c^2\right)⋮4\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)⋮2^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)⋮2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2⋮2\\b^2⋮2\\c^2⋮2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a⋮2\\b⋮2\\c⋮2\end{cases}}\)

Vậy a,b,c đồng thời chia hết cho 2

* Note: Bạn Greninja làm sai rồi, \(a^2+b^2+c^2⋮2\)chưa thể khẳng định \(a^2,b^2,c^2⋮2\)vì trong ba số a,b,c có thể tồn tại 1 số chẵn, 2 số lẻ. Phản ví dụ sau [a,b,c] = [1,2,3]. a,c lẻ mà \(a^2+b^2+c^2⋮2\)đấy thôi. Sau đây là lời giải của mình, bạn tham khảo:

Ta dễ có số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 (Cái này cơ bản, có nhiều trên mạng, hay các loại sách nâng cao)

Xét các trường hợp số dư: 0 + 0 + 1, 0 + 1 + 1, 1 + 0 + 1,... chỉ có trường hợp số dư 0 + 0 + 0 thỏa mãn, như vậy \(a^2,b^2,c^2⋮4\Rightarrow a,b,c⋮2\)(đpcm)

a: a^3-a=a(a^2-1)

=a(a-1)(a+1)

Vì a;a-1;a+1 là ba số liên tiếp

nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 3!=6

=>a^3-a chia hết cho 6

Vì a,b,c là các số nguyên và a² + b² + c² chia hết cho 4

Nên \(\hept{\begin{cases}a^2⋮4\\b^2⋮4\\c^2⋮4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a⋮4\\b⋮4\\c⋮4\end{cases}}\)

Vì a,b,c đều đồng thơi chia hết cho 4

mặt khác , 4 chia hết cho 2

=> a , b , c đồng thời chia hết cho 2 

Xét a;b cùng lẻ , a,b cùng chẵn ; a,b có ít nhất 1 lẻ ; có ít nhất 1 chẵn :P
P/s: Chả bt đ.c không nhỉ - Mod xem hộ em vs .

Bạn Kurosaki Akatsu làm như vậy chưa chặt 

===========================

Vì a² , b² , c²  là số chính phương nên chia 4 dư 1 hoặc 0

Ta xét các trương hợp 

* TH1 : trong 3 số có 2 số chia hết cho 4 , số còn lại chia 4 dư 1

=>a² + b² + c² chia 4 dư 1 ( mâu thuẫn với giả thiết => loại)

* TH2 : trong 3 số có 1 số chia hết cho 4 , 2 số không chia hết chia hết cho 4 (chia 4 dư 1)

=> a² +  b² + c² chia 4 dư 2 ( mâu thuẫn với giả thiết)

* TH3 : 3 số a² , b² ,c² đều chia hết cho 4 

Hay : \(\hept{\begin{cases}a^2⋮2^2\\b^2⋮2^2\\c^2⋮2^2\end{cases}}\) , mà 2 là số nguyên tố 

=> a , b , c đồng thời chia hết cho 2

a²+b² chia hết cho 3 nên a² và b² đồng thời chia hết cho 3

Vì a² =a x a; b² = b x b

mà  a² và b² đồng thời chia hết cho 3

suy ra a và b chia hết cho 3

Ta có:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+2b+c}\ge\dfrac{4}{\dfrac{a^2+1}{2}+b^2+1+\dfrac{c^2+1}{2}}=\dfrac{8}{b^2+7}\)

Tương tự

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{a^2+7}\)

\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{c^2+7}\)

Cộng vế:

\(2\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{8}{a^2+7}+\dfrac{8}{b^2+7}+\dfrac{8}{c^2+7}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)