Lay 4 chu so thi dong du voi 10000  

5^1994=5^2*(5^4)^498  

5^4=625 dong du 625 mod 10000  

625^2=390625 dong du 625 mod 10000  

=>625^n luon dong du 625 mod 10000  

=>(5^4)^498 dong du 625 mod 10000  

=>(5^2)*(5^4)^498 dong du (5^2)*625 mod 10000  

hay la 5^1994 dong du 15625 mod 10000

 Vay 4 chu so tan cung cua 5^1994 la 5625 

​kết luận chữ số tận cũg có 4 chữ số

ngu tất

làm cách khác đi

\(n^5-n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮10\)

\(\Rightarrow n^5,n\) co chữ xô tận cùng giông nhau

Hai số có chữ số tận cùng giống nhau nên ta sẽ đi CM: n^5 - n chia hết cho 10
Dễ thấy n^5 và n cùng tính chất chẵn lẻ nên n^5 -n chia hết cho 2 (1) 
Ta có: n^5 - n = n(n+1)(n-1)(n²+1) 
= n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) + 5n(n-1)(n+1) 
Số hạng cuối thì chia hết cho 5 còn số hạng đầu là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên cũng chia hết cho 5 => n^5-n chia hết cho 5 (2) 
Từ (1), (2) và do 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau ta sẽ có đpcm!

rtetertertgdfgdgter

Ta có: \(n^5-n\) 

\(=n\left(n^4-1\right)\) 

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\) 

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\) 

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) 

Lại có: n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5 

          5n(n-1)(n+1) chia hết cho 5

=> n⁵-n chia hết cho 5 (1) 

Mặt khác: n(n-1)(n-2)(n+2) chia hết cho 2 

               5n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 

=> n⁵-n chia hết cho 2 (2) 

Từ (1) và (2) =>n⁵-n chia hết cho 10 

=> n và n⁵ có chữ số tận cùng giống nhau

Vì a và b là 2 số có tổng chia hết cho 10

Nên tổng các chữ số tận cùng của 2 số này chia hết cho 10

-) Nếu chữ số tận cùng của a và b bằng nhau 

Thì chữ số tận cùng của a và b đều là 5 hoặc 0

Do đó a² và b² có cùng chữ số tận cùng

-) Nếu chữ số tận cùng của a lớn hơn b ( làm tương tự với c

+) Nếu chữ số tận cùng của a bằng 6

Do đó chữ số tận cùng của b bằng 4

Hai số này bình phương có cùng chữ số tận cùng là 6

+) Nếu chữ số tận cùng của a bằng 7

Do đó chữ số tận cùng của b bằng 3

Hai số này có bình phương có cùng chữ số tận cùng là 9

+) Nếu chữ số tận cùng của a bằng 8

Do đó chữ số tận cùng của b bằng 2

Hai số này có bình phương có cùng chữ số tận cùng là 4

+) Nếu chữ số tận cùng của a bằng 9

Do đó chữ số tận cùng của b bằng 1

Hai số này có bình phương có cùng chữ số tận cùng là 1

Vậy a² và b² có chữ số tận cùng giống nhau khi a và b có tổng chia hết cho 10

a⁵ - a = a.(a⁴ - 1) = a.(a² - 1).(a² + 1) = a.(a - 1).(a + 1).(a² + 1) (*)

Dễ thấy a.(a - 1).(a + 1) chia hết cho 2 và 3 vì là tích 3 số nguyên liên tiếp

=> a⁵ - a chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => a⁵ - a chia hết cho 6 (1)

Ta đã biết số chính phương a² khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4

+ Nếu a² chia 5 dư 0, do 5 nguyên tố nên a chia hết cho 5

Từ (*) => a⁵ - a chia hết cho 5

+ Nếu a² chia 5 dư 1 => a² - 1 chia hết cho 5

Từ (*) => a⁵ - a chia hết cho 5

+ Nếu a² chia 5 dư 4 => a² + 1 chia hết cho 5

Từ (*) => a⁵ - a chia hết cho 5

Như vậy, a⁵ - a luôn chia hết cho 5 với mọi a ϵ Z (2)

Từ (1) và (2), do (5;6)=1 => a⁵ - a chia hết cho 30 (')

=> a⁵ - a có tận cùng là 0 hay a⁵ và a có chữ số tận cùng giống nhau (")

(') và (") chính là đpcm