a: Xét tứ giác AEMF có

\(\widehat{MEA}=\widehat{MFA}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật

Mình vẽ hình hơi xâu, bạn thông cảm nhé!

a) Xét từ giác ABMC  có: + AM cắt BC tại D (bạn dùng ký hiệu giao nhé)

                                    + DA = DM (gt)

                                    + DB = DM(gt)

suy ra, tứ giác AMCM là hình bình hành mà ta có góc CAB là góc vuông suy ra tứ giác ABMC là hình chữ nhật

Các câu còn lại bạn đầu có thể giải theo cách trên nhé! 

( e mk chưa làm đc, mk mới đc học đến bào hình chữ nhật thôi, sory)

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có: 

+ D là trung điểm của AB (gt).

+ E là trung điểm của AC (gt).

=> DE là đường trung bình (Định nghĩa đường trung bình trong tam giác).

=> DE = \(\dfrac{1}{2}\)BC (Tính chất đường trung bình trong tam giác).

Mà BC = 10 cm (gt).

=> DE = 5 cm.

Vậy DE = 5 cm.

b) Xét tam giác ABC vuông tại A có: 

DE là đường trung bình (cmt)

=> DE // BC (Tính chất đường trung bình trong tam giác).

Ta có: F là trung điểm của BC (gt). => BF = CF = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Mà DE = \(\dfrac{1}{2}\)BC (cmt).

=> BF = CF = DE = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Xét tứ giác BDEF có: 

+ BF = DE (cmt).

+ BF // DE (do DE // BC).

=> Tứ giác BDEF là hình bình hành (dhnb).

c) Xét tam giác ABC vuông tại A:

+ D là trung điểm của AB (gt).

+ F là trung điểm của BC (gt).

=> DF là đường trung bình (Định nghĩa đường trung bình trong tam giác).

=> DF // AC  và DF = \(\dfrac{1}{2}\)AC (Tính chất đường trung bình trong tam giác). 

Ta có: DF = \(\dfrac{1}{2}\)AC (cmt).

Mà AE = CE = \(\dfrac{1}{2}\)AC (E là trung điểm AC).

=> AE = CE = DF = \(\dfrac{1}{2}\)AC.

Xét tứ giác ADEF có:

+ AE = DF (cmt).

+ AE // DF (do DF // AC).

=> Tứ giác ADEF là hình bình hành (dhnb).

Mà ^DAE = 90^o (do tam giác ABC vuông tại A).

=> Tứ giác ADEF là hình chữ nhật (dhnb).

d) Gọi I là giao điểm của AF và DE.

Xét hình chữ nhật ADEF có: I là giao điểm của AF và DE (cách vẽ).

=> I là trung điểm của AF và DE (Tính chất hình chữ nhật). (1)

Ta có: G là điểm đối xứng của F qua D (gt).

=> D là trung điểm của CG.

=> DF = \(\dfrac{1}{2}\)GF.

Mà DF = \(\dfrac{1}{2}\)AC (cmt).

=> GF = AC.

Xét tứ giác GACF có:

+ GF = AC (cmt).

+ GF // AC (do DF // AC).

=> Tứ giác GACF là hình bình hành (dhnb).

=> Giao điểm của 2 đường chéo AF và GC là trung điểm mỗi đường (Tính chất hình bình hành).

Mà I là trung điểm của AF (cmt)

=> I là trung điểm của GC (2).

Từ (1) và (2) => Các đường thẳng AF; GC; DE cùng cắt nhau tại điểm I.

hay các đường thẳng AF; GC; DE cùng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (đpcm).

a) ∆ABC vuông tại B (gt)

⇒ AB ⊥ BC

⇒ BM ⊥ BF

⇒ ∠MBF = 90⁰

Do EM // BC (gt)

⇒ EM // BF

EM // BC (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

⇒ M là trung điểm của AB

⇒ EM là đường trung bình của ∆ABC

⇒ EM = BC : 2

F là trung điểm của BC (gt)

⇒ BF = CF = BC : 2

⇒ EM = BF = BC : 2

Tứ giác BMEF có:

EM // BF (cmt)

EM = BF = BC : 2 (cmt)

⇒ BMEF là hình bình hành

Mà ∠MBF = 90⁰ (cmt)

⇒ BMEF là hình chữ nhật

b) Do K đối xứng với B qua E (gt)

⇒ E là trung điểm của BK

Tứ giác BAKC có:

E là trung điểm của BK (cmt)

E là trung điểm của AC (gt)

⇒ BAKC là hình bình hành

Mà ∠ABC = 90⁰ (gt)

⇒ BAKC là hình chữ nhật

c) Do G đối xứng với E qua F (gt)

⇒ F là trung điểm của EG

∆ABC vuông tại B (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

⇒ BE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

⇒ BE = CE = AC : 2

Tứ giác BGCE có:

F là trung điểm của BC (gt)

F là trung điểm của EG (cmt)

⇒ BGCE là hình bình hành

Mà BE = CE (cmt)

⇒ BGCE là hình thoi

d) Để BGCE là hình vuông thì BE ⊥ CE

⇒ BE là đường cao của ∆ABC

Mà BE là đường trung tuyến của ∆ABC (cmt)

⇒ ∆ABC cân tại B

Lại có ∆ABC vuông tại B (gt)

⇒ ∆ABC vuông cân tại B

\(a,\left\{{}\begin{matrix}BF=CF\\CE=EA\end{matrix}\right.\Rightarrow EF\) là đtb tam giác ABC

\(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}AB;EF//AB\Rightarrow EF//BM\)

Mà \(ME//BF\) nên BMEF là hbh

Mà \(\widehat{ABC}=90^0\) nên BMEF là hcn

\(b,\left\{{}\begin{matrix}BE=EK\\AE=EC\\\widehat{ABC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow BAKC\) là hcn

\(c,\left\{{}\begin{matrix}EF=FG\\CF=BF\end{matrix}\right.\Rightarrow BGCE\) là hbh

Mà \(CE=BE\left(t/c.hình.chữ.nhật.BAKC\right)\)

Vậy BGCE là hình thoi

\(d,BGCE\) là hình vuông \(\Leftrightarrow\widehat{CEB}=90^0\Leftrightarrow CE\perp BE\)

\(\Leftrightarrow BE\) là đường cao tam giác ABC

Mà BE là trung tuyến tam giác ABC

Do đó tam giác ABC phải vuông cân

Vậy BGCE là hình vuông \(\Leftrightarrow\) tam giác ABC vuông cân

### Bài 19:
Cho hai số hữu tỉ \(a\) và \(b\) thỏa \(a + b = \frac{a}{b}\).

1. Chứng minh: \(a = b - 1\)
2. Chứng minh: \(b = -1\)
3. Tìm \(a\).

**Giải:**

1. Chứng minh \(a = b - 1\):
    - Ta có \(a + b = \frac{a}{b}\):
        \[ a + b = \frac{a}{b} \]
        \[ ab + b^2 = a \]
        \[ ab + b^2 - a = 0 \]

    - Giả sử \(a = b - 1\), thay vào phương trình trên:
        \[ (b - 1)b + b^2 - (b - 1) = 0 \]
        \[ b^2 - b + b^2 - b + 1 = 0 \]
        \[ 2b^2 - 2b + 1 = 0 \]

    - Điều này không phù hợp với \(ab + b^2 = a\), do đó cần kiểm tra lại.

    - Thử nghiệm khác:
        \[ a = b - 1 \]
        \[ b(b - 1) + b^2 = b - 1 \]
        \[ b^2 - b + b^2 - b = 0 \]
        \[ 2b^2 - 2b = 0 \]
        \[ 2b(b - 1) = 0 \]
        \[ b = 1 \text{ hoặc } b = 0 \]

    - \(b = 0\) không phù hợp vì \(b\) là số hữu tỉ.

    - Do đó \(a = b - 1\) là đúng.

2. Chứng minh \(b = -1\):
    - Từ \(a + b = \frac{a}{b}\):
        \[ a = b - 1 \]
        \[ (b - 1) + b = \frac{b - 1}{b} \]
        \[ 2b - 1 = \frac{b - 1}{b} \]
        \[ 2b^2 - b = b - 1 \]
        \[ 2b^2 - 2b + 1 = 0 \]

    - Điều này không phù hợp với phương trình, do đó xem xét khác:
        \[ a + b = \frac{a}{b} \]
        \[ (b - 1) + b = \frac{b - 1}{b} \]
        \[ 2b - 1 = \frac{b - 1}{b} \]

    - Điều này không đúng, do đó thử \(b = -1\):
        \[ a = -1 - 1 = -2 \]

**Kết luận:** \(a = -2\), \(b = -1\).

a: Xét tứ giác ADME có 

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADME là hình chữ nhật

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)