a/

Xét tg vuông ABE và tg vuông HBE có

BE chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (gt)

=> tg ABE = tg HBE (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

b/

tg ABE = tg HBE (cmt) => AB = HB => tg BAH cân tại B

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)

=> BE là trung trực của AH (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường trung trực)

c/

Xét tg vuông KBH và tg vuông ABC có

\(\widehat{B}\) chung

AB = HB (cmt)

=> tg KBH = tg ABC (Hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => BK=BC

Xét tg BKE và tg BCE có

BE chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (gt)

BK=BC (cmt)

=> tg BKE = tg BCE (c.g.c) => EK = EC

d/

Xét tg vuông AKE có

AE<EK (trong tg vuông cạnh huyền là cạnh có độ dài lớn nhất

Mà EK=EC (cmt)

=> AE<EC

Ta có hình vẽ sau:

a) \(\widehat{AHB}\) = \(\widehat{DHB}\) = \(\frac{180^o}{2}\) = 90^o (2 góc kề bù)

Xét ΔABH và ΔDBH có:

BH là cạnh chung

\(\widehat{AHB}\) = \(\widehat{DHB}\) = 90^o (cm trên)

AH = DH (gt)

=> ΔABH = ΔDBH (c.g.c) (đpcm)

b) Vì ΔABH = ΔDBH (ý a)

=> \(\widehat{B_1}\) = \(\widehat{B_2}\) ( 2 góc tương ứng)

= BC là tia phân giác của \(\widehat{ABD}\) (đpcm)

c) Vì ΔABH = ΔDBH => AB = DB (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔABC và ΔDBC có:

BC là cạnh chung

\(\widehat{B_1}\) = \(\widehat{B_2}\) (ý b)

AB = DB (cm tên)

=> ΔABC = ΔDBC(c.g.c)

=> \(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{BDC}\) (2 góc tương ứng) (đpcm)

d) Vì ΔABH = ΔDBH (ý a)

=> AB = DB => \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)DB

=> NB = ND = \(\frac{1}{2}\)DB

=> N là trung điểm của BD(đpcm)

câu a) có nhầm ko z bn?

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔDBH vuông tại H có

HB chung

HA=HD

Do đó: ΔABH=ΔDBH

b: Ta có: ΔABH=ΔDBH

nên \(\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\)

hay BC là tia phân giác của góc ABD

Ta có hình vẽ:

a/ Xét tam giác ABH và tam giác DBH có:

BH: cạnh chung

\(\widehat{AHB}\)=\(\widehat{DHB}\)=90⁰ (GT)

AH = HD (GT)

Vậy tam giác ABH = tam giác DBH (c.g.c)

b/ Ta có: tam giác ABH = tam giác DBH (câu a)

=> \(\widehat{ABH}\)=\(\widehat{DBH}\)( 2 góc tương ứng)

=> \(\widehat{ABC}\)=\(\widehat{DBC}\)

=> BC là phân giác của góc ABD (đpcm)

c/ Xét tam giác ABC và tam giác DBC có:

BC: cạnh chung

\(\widehat{ABC}\)=\(\widehat{DBC}\) (đã chứng minh)

AB = DB (vì tam giác ABH = tam giác DBH)

=> tam giác ABC = tam giác DBC (c.g.c)

=>\(\widehat{BAC}\)=\(\widehat{BDC}\)(2 góc tương ứng)

d/ Ta có: AB = DB (vì tam giác ABH = tam giác DBH)

Mà BM = AM

=> BN = DN

\(\Rightarrow\) Vậy N là trung điểm BD (đpcm)

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔDBH vuông tại H có

HB chung

HA=HD

Do đó: ΔABH=ΔDBH

b: Ta có: ΔABH=ΔDBH

nên \(\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\)

hay BC là tia phân giác của góc ABD

c: Xét ΔACD có 

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔACD cân tại C

Xét ΔBAC và ΔBDC có

BA=BD

AC=DC

BC chung

DO đó: ΔBAC=ΔBDC

Suy ra: \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}\)

\(\text{#TNam}\)

`a,`

Xét Tam giác `ABI` và Tam giác `MBI` có:

`\text {BI chung}`

\(\widehat{ABI}=\widehat{MBI} (\text {tia phân giác}\) \(\widehat{ABM} )\)

\(\widehat{BAI}=\widehat{BMI}=90^0\)

`=> \text {Tam giác ABI = Tam giác MBI (ch-gn)}`

`=> BA = BM (\text {2 cạnh tương ứng})`

Gọi `H` là giao điểm của `BI` với `AM`

Xét Tam giác `HAB` và Tam giác `HMB` có:

\(\text{BA = BM (CMT)}\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{MBH} (\text {tia phân giác} \widehat{ABM})\)

`\text {BH chung}`

`=> \text {Tam giác HAB = Tam giác HMB (c-g-c)}`

`-> \text {HA = HM (2 cạnh tương ứng)}`

`->`\(\widehat{BHA}=\widehat{BHM} (\text {2 góc tương ứng})\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí kề bù

`->`\(\widehat{BHA}+\widehat{BHM}=180^0\)

`->`\(\widehat{BHA}=\widehat{BHM}=\)`180/2=90^0`

`-> \text {BH} \bot \text {AM}`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AM\\HA=HM\end{matrix}\right.\)

`->` \(\text{BI là đường trung trực của AM.}\)

`b,`

Xét Tam giác `BAC` và Tam giác `BMN` có:

\(\widehat{B} \) `\text {chung}`

`BA = BM (a)`

\(\widehat{BAC}=\widehat{BMN}=90^0\)

`=> \text {Tam giác BAC = Tam giác BMN (g-c-g)}`

`-> \text {BN = BC (2 cạnh tương ứng)}`

Xét Tam giác `BIN` và Tam giác `BIC` có:

`BN = BC (CMT)`

\(\widehat{NBI}=\widehat{CBI} (\text {tia phân giác} \widehat{NBC})\)

`\text {BI chung}`

`=> \text {Tam giác BIN = Tam giác BIC (c-g-c)}`

`-> \text {IN = IC (2 cạnh tương ứng)}`
`c,`

Gọi `K` là giao điểm của `BI` và `NC`

Xét Tam giác `NBK` và Tam giác `CBK` có:

`BN = BC (CMT)`

\(\widehat{NBK}=\widehat{CBK} (\text {tia phân giác} \widehat{NBC})\)

`\text {BK chung}`

`=> \text {Tam giác NBK = Tam giác CBK (c-g-c)}`

`->`\(\widehat{BKN}=\widehat{BKC} (\text {2 góc tương ứng})\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí kề bù

`->`\(\widehat{BKN}+\widehat{BKC}=180^0\)

`->`\(\widehat{BKN}=\widehat{BKC}=\)`180/2=90^0`

`-> \text {BK} \bot \text {NC}`

`-> \text {BI} \bot \text {NC (đpcm)}`