a) Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) đến điểm \(M\left( {3;4} \right)\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:

\(OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

b) Với hai điểm I(a; b) và M(x ; y) trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta có:\(IM = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} \)

Gọi \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{CM}=\left(x+5;y-1\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(3;-7\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-4;-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=\left(18;-8\right)\)

\(\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+5=18\\y-1=-8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(13;-7\right)\)

14.

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;10\right)\) nên pt tham số của AB là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3-3t\\y=-4+10t\end{matrix}\right.\)

15.

Do d song song delta nên d nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtcp

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2t\\y=-4-t\end{matrix}\right.\)

18.

d có vtcp là (2;3) nên d nhận (3;-2) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(3\left(x+1\right)-2\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x-2y+3=0\)

19.

\(\overrightarrow{AB}=\left(3;-4\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận (4;3) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(4\left(x+2\right)+3\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow4x+3y-4=0\)

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy \(A\left( {1; - 3} \right)\)

b) Dựa vào hình vẽ ta thấy \(B\left( { - 1; - 3} \right)\)

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy \(C\left( {1;3} \right)\)

a) Gọi \(M\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {a - 2;b - 3} \right)\)

Tọa độ vecto \(\overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 2} \right)\)

Để \(\overrightarrow {AM{\rm{ }}}  = {\rm{ }}\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 4\\b - 3 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 1\end{array} \right.\)

Vậy để \(\overrightarrow {AM{\rm{ }}}  = {\rm{ }}\overrightarrow {BC} \) thì tọa độ điểm M là:\(M\left( {6;1} \right)\)

b) Gọi \(N\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {NC}  = \left( {3 - x, - 1 - y} \right)\)và \(\overrightarrow {AN}  = \left( {x - 2,y - 3} \right)\)

Do N là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {NC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3 - x\\y - 3 =  - 1 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = 1\end{array} \right.\) . Vậy \(N\left( {\frac{5}{2},1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = \left( {  \frac{7}{2};0} \right)\) và \(\overrightarrow {NM}  = \left( {\frac{{ 7}}{2};0} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {NM} \)

14.

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;10\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(10;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(10\left(x-3\right)+3\left(y+4\right)=0\Leftrightarrow10x+3y-18=0\)

16.

Do d song song denta nên d nhận \(\left(3;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(3\left(x-2\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x-2y-4=0\)

17. Cho d vuông góc denta nên d nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-4\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x-y-5=0\)