Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\left(t\ge1\right)\)

\(\sqrt{x^2-4x+5}=m+4x-x^2\)

\(\Leftrightarrow m=x^2-4x+5+\sqrt{x^2-4x+5}-5\)

\(\Leftrightarrow m=f\left(t\right)=t^2+t-5\)

Phương trình có nghiệm khi \(m\ge minf\left(t\right)=-3\)

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\sqrt{4x+m}=t\ge0\Rightarrow m=t^2-4x\)

\(2x^2-6x=\left(x+1\right)t+t^2-4x\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x\left(t+2\right)-t^2-t=0\)

\(\Delta=\left(t+2\right)^2+8\left(t^2+t\right)=\left(3t+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{t+2+3t+2}{4}=t+1\\x=\dfrac{t+2-3t-2}{4}=-\dfrac{t}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{4x+m}=x-1\left(x\ge1\right)\\\sqrt{4x+m}=-2x\left(x\le0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=x^2-6x+1\left(x\ge1\right)\\m=4x^2-4x\left(x\le0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-8\\-4< m< 0\end{matrix}\right.\)

nghiệm thuộc giá trị 0 

tìm m bằng cách tách biến 

\(m=-x^2+4+3\sqrt{x\left(4-x\right)}\)

nghiệm thuộc giá trị 4 

vẫn tách biến :

\(m=22,97366596\)

này là câu trl vs đề có x thuộc nghiệm 0 và 4 , tại mình nghĩ bn ghi đề chưa đủ

Đặt \(\sqrt{4x-x^2}=t\Rightarrow t\in\left[0;2\right]\)

\(\Rightarrow3t-m=-t^2\Rightarrow t^2+3t=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+3t\) trên \(\left[0;2\right]\)

\(a=1>0;-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2}< 0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left[0;2\right]\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)\le f\left(t\right)\le f\left(2\right)\Rightarrow0\le f\left(t\right)\le10\)

\(\Rightarrow0\le m\le10\)

Bạn kiểm tra lại đề, sao có 2 dầu = trong pt thế kia nhỉ?

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\left(x^2-x-m\right)\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2-x-m=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Giả sử (1) có nghiệm thì theo Viet ta có \(x_1+x_2=1>0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm dương nếu có nghiệm

Do đó:

a. Để pt có 1 nghiệm \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm 

\(\Leftrightarrow\Delta=1+4m< 0\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{4}\)

b. Để pt có 2 nghiệm pb 

TH1: (1) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0

\(\Leftrightarrow m=0\)

TH2: (1) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow x_1x_2=-m< 0\Leftrightarrow m>0\)

\(\Rightarrow m\ge0\)

c. Để pt có 3 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\) (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1+4m>0\\x_1x_2=-m>0\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}< m< 0\)

hello

PT\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+5\right)+3\sqrt{x^2-4x+5}-2m-2=0\)

Đặt: \(a=x^2-4x+5\left(a\ge1\right)\)

Pt trở thành: \(a^2+3a-2m-2=0\)

Pt trên có nghiệm khi:
\(\Delta\ge0\Leftrightarrow9+4\left(2m+2\right)\ge0\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{17}{8}\)

a, \(\sqrt{2x^2-2x+m}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-2x+m=x^2+2x+1\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x+m-1=0\left(1\right)\\x\ge-1\end{matrix}\right.\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm \(x\ge-1\) chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau

TH1: \(x_1\ge x_2\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}\ge-1\\1.f\left(-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-m\ge0\\2\ge-1\\m+4\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-4\le m\le5\)

TH2: \(x_1\ge-1>x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-m\ge0\\m+4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

Vậy \(-4\le m\le5\)