ĐK: \(-\dfrac{1}{2}\le x\le3\)

\(pt\Leftrightarrow-2x^2+5x+3+\sqrt{-2x^2+5x+3}=6+m\)

Đặt \(\sqrt{-2x^2+5x+3}=t\left(0\le t\le\dfrac{7\sqrt{2}}{4}\right)\)

\(pt\Leftrightarrow6+m=f\left(t\right)=t^2+t\)

\(f\left(0\right)=0;f\left(\dfrac{7\sqrt{2}}{4}\right)=\dfrac{49+14\sqrt{2}}{8}\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(0\le6+m\le\dfrac{49+14\sqrt{2}}{8}\)

\(\Leftrightarrow-6\le m\le\dfrac{1+14\sqrt{2}}{8}\)

mn ơi giúp mk vs

hello

ĐK; \(-1\le x\le3\)

Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+3}=t\left(0\le t\le2\right)\)

\(pt\Leftrightarrow m+1=-x^2+2x+3+4\sqrt{-x^2+2x+3}\)

\(\Leftrightarrow m+1=f\left(t\right)=t^2+4t\)

\(f\left(0\right)=0;f\left(2\right)=12\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(minf\left(t\right)\le m+1\le maxf\left(t\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le m+1\le12\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le11\)

Bài 2. 

ĐK: $x\geq \frac{-11}{2}$

$x+\sqrt{2x+11}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2x+11}$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2=2x+11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2-2x-11=0(*)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'(*)=12\)

\(\Rightarrow x=1\pm \sqrt{12}=1\pm 2\sqrt{3}\). Với điều kiện của $x$ suy ra $x=1-2\sqrt{3}$

$\Rightarrow a=1; b=-2\Rightarrow ab=-2$

Bài 1. 

Đặt $x^2+2x=t$ thì PT ban đầu trở thành:

$t^2-t-m=0(1)$

Để PT ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì:

Trước tiên PT(1) cần có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi $\Delta (1)=1+4m>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{4}(*)$

Với mỗi nghiệm $t$ tìm được, thì PT $x^2+2x-t=0(2)$ cần có 2 nghiệm $x$ phân biệt. 

Điều này xảy ra khi $\Delta '(2)=1+t>0\Leftrightarrow t>-1$

Vậy ta cần tìm điều kiện của $m$ để (1) có hai nghiệm $t$ phân biệt đều lớn hơn $-1$

Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (t_1+1)(t_2+1)>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t_1t_2+t_1+t_2+1>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -m+1+1>0\\ 1+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(**)\)

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{-1}{4}< m< 2$

b) 

Để pt ban đầu vô nghiệm thì PT(1) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm $t$ đều nhỏ hơn $-1$

PT(1) vô nghiệm khi mà $\Delta (1)=4m+1<0\Leftrightarrow m< \frac{-1}{4}$

Nếu PT(1) có nghiệm thì $t_1+t_2=1>-2$ nên 2 nghiệm $t$ không thể cùng nhỏ hơn $-1$

Vậy PT ban đầu vô nghiệm thì $m< \frac{-1}{4}$

c) Để PT ban đầu có nghiệm duy nhất thì:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta (1)=1+4m=0\\ \Delta' (2)=1+t=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=-\frac{1}{4}\\ t=-1\end{matrix}\right.\).Mà với $m=-\frac{1}{4}$ thì $t=\frac{1}{2}$ nên hệ trên vô lý. Tức là không tồn tại $m$ để PT ban đầu có nghiệm duy nhất. 

d) 

Ngược lại phần b, $m\geq \frac{-1}{4}$

e) 

Để PT ban đầu có nghiệm kép thì PT $(2)$ có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi $\Delta' (2)=1+t=0\Leftrightarrow t=-1$

$t=-1\Leftrightarrow m=(-1)^2-(-1)=2$

\(\left(x^2-2x+5\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+5\right)\left(x^2-2x-3\right)=m\)

Đặt \(x^2-2x-3=t\Rightarrow t\in\left[-4;0\right]\)

\(\Rightarrow\left(t+8\right)t=m\)

\(\Leftrightarrow t^2+8t=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+8t\) trên \(\left[-4;0\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-4\) ; \(f\left(-4\right)=-16\) ; \(f\left(0\right)=0\)

\(\Rightarrow-16\le f\left(t\right)\le0\Rightarrow-16\le m\le0\)

\(x^4+2x^3+5x^2+4x-1-m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)^2+4\left(x^2+x\right)-1-m=0\left(1\right)\)

\(đặt:x^2+x=t\ge\dfrac{-\Delta}{4a}=-\dfrac{1}{4}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2+4t-1-m=0\) có nghiệm trên \([-\dfrac{1}{4};\text{+∞})\)

\(f\left(t\right)=t^2+4t-1=m\)

\(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-5\)

\(f\left(-\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{31}{16}\Rightarrow m\ge-\dfrac{31}{16}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{-b}{2a}=-2\Rightarrow x^2+x+2=0\left(vô-nghiệm\right)\left(loại\right)\\\left\{{}\begin{matrix}t1=\dfrac{-4+\sqrt{20+4m}}{2}=-2+\sqrt{5+m}\\t2=\dfrac{-4-\sqrt{20+4m}}{2}=-2-\sqrt{5+m}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) 

\(x^2+x=t1=-2+\sqrt{5+m}\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2+x+2=\sqrt{5+m}\) có nghiệm thuộc \(\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{7}{4}\)

\(f\left(-1\right)=2;f\left(1\right)=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{7}{4}\le\sqrt{5+m}\le4\Leftrightarrow\dfrac{-31}{16}\le m\le11\)

\(x^2+x=t2=-2-\sqrt{5+m}\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2+x+2=-\sqrt{5+m}\)

có nghiệm trên \(\left[-1;1\right]\)

\(x^2+x+2>0\Rightarrow x^2+x+2=-\sqrt{5+m}< 0\left(vô-lí\right)\Rightarrow vô-nghiệm\forall m\)

\(\Rightarrow\dfrac{-31}{16}\le m\le11\) thì pt có  nghiệm thuộc \(\left[-1;1\right]\)