Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:

\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)

Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)

Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\)  => (a - 1).(a - 9) = 0

=> a = 9. Từ đó ta có n = 40

Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40

n=1

k minh nhe

Do \(n^2+2n+6\) là số chính phương nên đặt: \(n^2+2n+6=a^2\) 

\(\Rightarrow n^2+2n+1+5=a^2\) 

\(\Rightarrow\left(n^2+2n+1\right)+5=a^2\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)^2+5=a^2\)

\(\Rightarrow a^2-\left(n+1\right)^2=5\)

\(\Rightarrow\left(a+n+1\right)\left(a-n-1\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(a+n+1\right)\left(a-n-1\right)=5\cdot1\)

Ta có: \(a+n+1>a-n-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+n+1=5\\a-n-1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+n=4\\a-n=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left(4+2\right):2\\n=\left(4-2\right):2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\n=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(n^2+2n+6\) là số chính phương khi \(n=1\)

Giúp mình vs

\(n^2+2n+6\) là số chính phương

Đặt \(n^2+2n+6=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow4n^2+8n+24=4k^2\)

\(\Leftrightarrow4n^2+8n+1+23=\left(2k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2+23=\left(2k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k\right)^2-\left(2n+1\right)^2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(2k+2n+1\right)\left(2k-2n-1\right)=23\)

mà \(2k+2n+1>2k-2n-1,\forall a;k\in N\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+2n+1=23\\2k-2n-1=1\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+2n=22\\2k-2n=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k+n=11\\k-n=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=6\\n=5\end{matrix}\right.\)

Vậy \(n=5\) thỏa mãn đề bài

Lời giải:

Đặt  $n^2-2n+2020=a^2$ với $a\in\mathbb{N}^*$

$\Leftrightarrow (n-1)^2+2019=a^2$

$\Leftrightarrow 2019=(a-n+1)(a+n-1)$

Với $a\in\mathbb{N}^*, n\in\mathbb{N}$ thì $a+n-1>0$

$\Rightarrow a-n+1>0$. Vậy $a+n-1> a-n+1>0$

Mà tích của chúng bằng $2019$ nên ta có các TH sau:

TH1: $a+n-1=2019; a-n+1=1$

$\Rightarrow n=1010$ (tm)

TH2: $a+n-1=673, a-n+1=3$

$\Rightarrow n=336$