Chọn C

Lời giải. Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là 7.3 = 21 điểm vì

Để con châu chấu đáp xuống các điểm M(x,y) có x + y < 2

thì con châu chấu sẽ nhảy trong khu vực hình thang BEIA

Để M(x,y) có tọa độ nguyên thì

= Nếu x ∈ - 2 ; - 1 thì y ∈ 0 ; 1 ; 2

⇒ có 6 điểm

= Nếu x = 0 thì  y ∈ 0 ; 1 ⇒  có 2 điểm

= Nếu x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ có 1 điểm

⇒  có tất cả 6 + 2 +1 = 9 điểm thỏa mãn

Vậy xác suất cần tính  P = 9 21 = 3 7

Đáp án A

Để con châu chấu đáp xuống các điểm M(x; y) có x + y < 2 thì con châu chấu sẽ nhảy trong khu vực hình thang BEIA

Để M(x; y) có tọa độ nguyên thì x ∈ - 2 ;   - 1 ;   0 ;   1 ;   2 ,   y ∈ { 0 ;   1 ;   2 }  

Nếu x ∈ - 2 ;   - 1 thì y ∈ { 0 ;   1 ;   2 } có 2.3 = 6 điểm

Nếu x = 0 thì y ∈ { 0 ;   1 }  có 2 điểm

Nếu x =1 => y = 0 => có 1 điểm

=> có tất cả 6 + 2 + 1 = 9 điểm. Để con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật mà đáp xuống các điểm có tọa độ nguyên thì x ∈ - 2 ;   - 1 ;   0 ;   1 ;   2 ;   3 ;   4 ,   y ∈ { 0 ;   1 ;   2 } . Số các điểm M(x; y) có tọa độ nguyên là: 7.3 = 21 điểm. Xác suất cần tìm là:  P = 9 21 = 3 7 .

Đáp án A

Đường thẳng x + y − 2 = 0 chia hình chữ nhật thành 2 phần như hình vẽ. Xét điểm X 0 ; 1  

Số các điểm nguyên không nằm bên ngoài hình chữ nhật là 3.7 = 21  (điểm)

Các điểm có tọa độ thỏa mãn x + y < 2  là các điểm nằm phía bên trái đường thẳng x + y − 2 = 0 , hay cùng phía với X so với đường thẳng x + y − 2 = 0  và không lấy các điểm nằm trên đường thẳng này.

Dễ thấy trường hợp này có 9 điểm thỏa mãn

Vậy xác suất cần tìm là 9 21 = 3 7

a) Ta có hai mặt phẳng song song là: (Ax, AD) // (By, BC)

Hai mặt phẳng này bị cắt bởi mặt phẳng (β) nên ta suy ra các giao tuyến của chúng phải song song nghĩa là A′D′ // B′C′.

Tương tự ta chứng minh được A′B′ // D′C′. Vậy A', B', C', D' là hình bình hành. Các hình thang AA'C'C và BB'D'D đều có OO' là đường trung bình trong đó O là tâm của hình vuông ABCD và O' là tâm của hình bình hành A',B',C',D'. Do đó: AA′ + CC′ = BB′ + DD′ = 2OO′

b) Muốn hình bình hành A',B',C',D' là hình thoi ta cần phải có A'C' ⊥ B'D'. Ta đã có AC ⊥ BD. Người ta chứng minh được rằng hình chiếu vuông góc của một góc vuông là một góc vuông khi và chỉ khi góc vuông đem chiếu có ít nhất một cạnh song song với mặt phẳng chiếu hay nằm trong mặt chiếu. Vậy A', B', C', D' là hình thoi khi và chỉ khi A'C' hoặc B'D' song song với mặt phẳng (α) cho trước. Khi đó ta có AA' = CC' hoặc BB' = DD'.

c) Muốn hình bình hành A', B', C', D' là hình chữ nhật ta cần có A'B' ⊥ B'C', nghĩa là A'B' hoặc B'C' phải song song với mặt phẳng (α)(α). Khi đó ta có AA' = BB' hoặc BB' = CC', nghĩa là hình bình hành A', B', C', D' có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng (α) cho trước.

Ta có

Ta lại có AB′  ⊥  SC nên suy ra AB′ ⊥ (SBC). Do đó AB′  ⊥  B′C

Chứng minh tương tự ta có AD′  ⊥  D′C.

Vậy ∠ ABC =  ∠ AB′C =  ∠ AC′C =  ∠ AD′C =  ∠ ADC = 90 °

Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.

Tham khảo:

a)

Đường cong đi qua 5 điểm này có cùng hình dạng với đồ thị hàm số \(y = {x^2}\), cùng có bề lõm quay lên trên.

b)

Đường cong đi qua 5 điểm này có cùng hình dạng với đồ thị hàm số \(y =  - {x^2}\), cùng có bề lõm quay xuống dưới.

Đáp án D

Số phần tử của không gian mẫu tập hợp các điểm có tọa độ nguyên nằm trên hình chữ nhật OMNP là

n Ω = 101 x 11

Khi đó có 91 + 90 + . . . + 81 = 946  cặp (x;y) thỏa mãn

Vậy xác suất cần tính là

Chọn đáp án D.

Số phần tử của không gian mẫu tập hợp các điểm có tọa độ nguyên nằm trên hình chữ nhật OMNP là n(Ω)=101x11

Vì x ϵ [0;100];y ϵ [0;10] và x+y ≤90  ⇒ y = 0 → x = 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 90 y = 1 → x = 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 89 . . . y = 10 → x = 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 80

Khi đó có 91 + 90 + … + 81 = 946 cặp (x;y) thỏa mãn.

Vậy xác suất cần tính là P=n(X)/n(Ω)=86/101