1. Cho a,b >0
Tìm min: Q= \(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
2. Cho a,b,c >0 và a+b+c ≤ 1
Tìm min P=\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\)
+) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+2b+3c=3
CM: \(\sqrt{\dfrac{2ab}{2ab+9c}}+\sqrt{\dfrac{2bc}{2bc+a}}+\sqrt{\dfrac{ac}{ac+2b}}\le\dfrac{3}{2}\)
+) Cho a,b,c >0 và a+b+c≤3
Tìm min P\(=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\)
Tìm GTLN của
\(P=\dfrac{a}{\sqrt{1+2bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+2ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+2ab}}\)
với a,b,c là các số lớn hơn 0 thỏa mãn điều kiện : \(a^2+b^2+c^2=1\)
P=\(\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{\left(a^2+\left(b+c\right)^2\right)\left(1+1\right)}}+\dfrac{\sqrt{2}.b}{\sqrt{\left(b^2+\left(a+c\right)^2\right)\left(1+1\right)}}+\dfrac{\sqrt{2}.c}{\sqrt{\left(c^2+\left(b+a\right)^2\right)\left(1+1\right)}}\)>=\(\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}.b}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}.c}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}}\)>=\(\sqrt{2}\)
nhầm dấu tí là dấu lớn hơn bằng còn cách lm thì đúng nhé
cho a,b,c>0 và a+b+c≤\(\dfrac{3}{2}\). Timg min Q=\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
Cho a,b,c > 0 và 15(\(\dfrac{1}{a^2}\)+\(\dfrac{1}{b^2}\)+\(\dfrac{1}{c^2}\))=3+\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\).
Tìm max P=\(\dfrac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\)
1. Cho a,b >0; a+b ≤ 1
Tìm min \(N=ab+\dfrac{1}{ab}\)
2. Cho a,b,c >0 t/m: a+b+c ≥ 6
Tìm min \(P=5a+6b+7c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{8}{b}+\dfrac{27}{c}\)
3. Cho a,b,c ∈ \(\left[-1;2\right]\) và \(a^2+b^2+c^2=6\)
\(CM:\) a+b+c ≥ 0
Câu 1
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Câu 2:
\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)
Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24
Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
Tính \(S=\dfrac{2013a^2-2014}{a^2+2bc}+\dfrac{2013b^2-2014}{b^2+2ca}+\dfrac{2013c^2-2014}{c^2+2ab}\)
Ta có kết quả tổng quát hơn như sau:
Cho $a,b,c \neq 0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0.$
Chứng minh rằng $$S={\frac {k{a}^{2}-k-1}{{a}^{2}+2\,bc}}+{\frac {{b}^{2}k-k-1}{2\,ac+{b}^{2}}}+{\frac {{c}^{2}k-k-1}{2\,ab+{c}^{2}}}=k$$
Cho a,b,c đôi một khác nhau và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\) . Tính
\(p=\dfrac{a^2}{a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2+2ca}+\dfrac{c^2}{c^2+2ab}\)
Theo giả thiết: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\) ab+bc+ca = 0 \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}ab=-ac-bc\\bc=-ab-ac\\ac=-bc-ab\end{matrix}\right.\)
Xét \(\dfrac{a^2}{a^2+2bc}\) = \(\dfrac{a^2}{a^2+bc-ab-ac}\) = \(\dfrac{a^2}{a\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)}\)
= \(\dfrac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)
CMTT \(\dfrac{b^2}{b^2+2ac}\) = \(\dfrac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)
\(\dfrac{c^2}{c^2+2ab}\) = \(\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(\Rightarrow\) p = \(\dfrac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)+\(\dfrac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)+\(\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
= \(\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\) = 1
Cho a;b;c;d>0 thỏa mãn: a+b+c+d=4. Tìm min của:
\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{d^2}}+\sqrt{d^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
Áp dụng bđt Mincopxki và Cauchy-Schwarz:
\(VT=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{d^2}}+\sqrt{d^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2+\left(\dfrac{16}{a+b+c+d}\right)^2}\)
\(=\sqrt{3^2+\dfrac{16^2}{3^2}}=\sqrt{\dfrac{337}{9}}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=d=\dfrac{3}{4}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)(1+1)\geq (a+\frac{1}{b})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{a+\frac{1}{b}}{\sqrt{2}}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{d^2}}+\sqrt{d^2+\frac{1}{a^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b+c+d+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})\)
Mặt khác theo BĐT Cauchy:
\(a+\frac{1}{a}\geq 2; b+\frac{1}{b}\geq 2; c+\frac{1}{c}\geq 2; d+\frac{1}{d}\geq 2\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}.8=4\sqrt{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $4\sqrt{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Cho a,b,c > 0 và \(a+b+c=\dfrac{3}{2}\). Tìm Min của:
\(H=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
\(H=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{81}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)