3.

\(f\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\Rightarrow f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\)

\(f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\)

\(f'\left(0\right)=-sin\left(0\right)=0\)

\(2f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right).f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=2sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\)

\(=cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\)

\(f'\left(0\right)-f\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\)

\(\Rightarrow2f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right)f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=f'\left(0\right)-f\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\) (đpcm)

4.

\(y=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^6x+cos^6x\right)\)

\(=3\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-6sin^2x.cos^2x-2\left(sin^2x+cos^2x\right)^3+6sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)

\(=3-2=1\)

\(\Rightarrow y'=0\) ; \(\forall x\)

5.

\(y=\left(\frac{sinx}{1+cosx}\right)^3=\left(\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{1-cos^2x}\right)^3=\left(\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}\right)^3=\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^3\)

\(y'=3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^2\left(\frac{sin^2x-cosx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}\right)=3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^2\left(\frac{1-cosx}{sin^2x}\right)=\frac{3\left(1-cosx\right)^3}{sin^4x}\)

\(\Rightarrow y'.sinx-3y=\frac{3\left(1-cosx\right)^3}{sin^3x}-3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^3=0\) (đpcm)

\(=cos^2x\left(cos^2x+sin^2x\right)+cos^4x-sin^4x+3sin^2x\)

\(=cos^2x+3sin^2x+\left(cos^2x+sin^2x\right)\left(cos^2x-sin^2x\right)\)

\(=2cos^2x+2sin^2x=2\)

a: Sửa đề: sin x=4/5

cosx=-3/5; tan x=-4/3; cot x=-3/4

b: 270 độ<x<360 độ

=>cosx>0

=>cosx=1/2

tan x=căn 3; cot x=1/căn 3

Gọi x,y (xào) lần lượt là số xào người ta trồng hoa hướng dương và hoa cúc.

ĐK:0<x, y< 12.

Ta có: Hợp tác xã Bình Minh trồng hoa cúc và hoa hướng dương trên mảnh đất có diện tích 12 sào nên ta được phương trình: x+y=12 (1)

Ta lại có: Mùa hoa năm nay mỗi sào hoa hướng dương lãi 30 triệu đồng mỗi sào hoa trồng hoa cúc lại được 15 triệu đồng và hợp tác xã thu được tổng cộng 300 triệu đồng tiền lãi nên ta được phương trình:

30x + 15y=300

(=) 2x +y =20 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\2x+y=20\end{matrix}\right.\)

(=)\(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=24\\2x+b=20\end{matrix}\right.\)

(=)\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

(=)\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\\x+4=12\end{matrix}\right.\)

(=)\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\left(TMĐK\right)\\x=12-4=8\left(TMĐK\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy số xào trồng hoa hướng dương là 8 xào.

Vậy số xào tròng hoa cúc là 4 xào.

gọi số sào hoa cúc và hoa hướng dương lần lượt là a và b(a,b>=0)
=> có hpt: a+b=12 (1) và 15a+30b=12 (2)
từ (1) => b=12-a => thay vào (2) => tìm đc a=4;b=8

c)

\(\cos\left(x\right)^4+\sin\left(x\right)^2\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\\ =\left(\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\right)\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\\ =\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\\ =1\)

\(\cos\left(x\right)^4-\sin\left(x\right)^4+2\sin\left(x\right)^2\\ =\left(\cos\left(x\right)^2-\sin\left(x\right)^2\right)\left(\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\right)+2\sin\left(x\right)^2\\ =\cos\left(2x\right)\cdot1+2\sin\left(x\right)^2\\ =\cos\left(x\right)^2-\sin\left(x\right)^2+2\sin\left(x\right)^2\\ =\cos\left(x\right)^2+\sin\left(x\right)^2\\ =1\)

b)

\(\sin\left(x\right)^4+\sin\left(x\right)^2\cos\left(x\right)^2+\cos\left(x\right)^2\\ =\sin\left(x\right)^2\left(\sin\left(x\right)^2+\cos\left(x\right)^2\right)+\cos\left(x\right)^2\\ =\sin\left(x\right)^2+\cos\left(x\right)^2\\ =1\)

a)\(\left(\sin x+\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cdot\cos x\)

\(=1+2\cdot\frac{1}{2}=1+1=2\)

\(\Rightarrow\sin x+\cos x=\sqrt{2}\)

b)\(\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cdot\cos^2x\)

\(=1^2-2\cdot\frac{1}{2}^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

c)\(\left|\sin x-\cos x\right|^2=\left(\sin x-\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cdot\cos x=1-2\cdot\frac{1}{2}=1-1=0\)

\(\left|\sin x+\cos x\right|=0\)

a) \(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{99}\)

\(=\left(5+5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5+5^6\right)+...+\left(5^{97}+5^{98}+5^{99}\right)\)

\(=5\left(1+5+5^2\right)+5^4\left(1+5+5^2\right)+...+5^{97}\left(1+5+5^2\right)\)

\(=5.31+5^4.31+...+5^{97}.31\)

\(=31\left(5+5^4+...+5^{97}\right)⋮31\left(đpcm\right)\)

b) \(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{99}\)

\(=5+\left(5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5\right)+...+\left(5^{98}+5^{99}\right)\)

\(=5+5\left(5+5^2\right)+5^3\left(5+5^2\right)+...+5^{97}\left(5+5^2\right)\)

\(=5+5.30+5^3.30+...+5^{97}.30\)

\(=5+30.\left(5+5^3+...+5^{97}\right)\)

Mà \(5⋮̸30\) nên \(S⋮̸30\left(đpcm\right)\)

c) Ta có: \(5S=5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{100}\)

\(5S-S=\left(5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{100}\right)-\left(5+5^2+5^3+5^4+...+5^{99}\right)\)

\(4S=5^{100}-5\)

\(\Rightarrow25^x-5=5^{100}-5\)

\(\Rightarrow25^x=5^{100}\)

\(\Rightarrow25^x=25^{50}\)

\(\Rightarrow x=50\)

a: Xét tứ giác BFEC có góc BFC=góc BEC=90 độ

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

O là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

BC là đường kính

EF là dây

Do đó: EF<BC