Cho tứ diện đểu ABCD cạnh A. Gọi O là tâm của tam giác đểu BCD. M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Quay hình thang BCMN quanh đường thẳng AO ta được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?
Đáp án B
Gọi các điểm như hình vẽ
Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi xoay hình thang BCMN quanh đường thẳng AO
Ta có: tam giác IMN và tam giác OBC là hai tam giác cân tại I, O và lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với trục AO nên khi xoay hình thang BCMN quanh đường thẳng AO ta được khối tròn xoay bị giới hạn bởi hai hình nón cụt được tạo ra khi quay tứ giác IMBO quanh trục AO và hình nón cụt được tạo ra khi quay tứ giác IKHO quanh trục AO
Lại có:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD và M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng MN ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng 8 πa 3 . Diện tích của hình chữ nhật ABCD là
A. 2 a 2
B. 16 a 2
C. 8 a 2
D. 4 a 2
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD và M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng MN ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng 8 πa 3 Diện tích của hình chữ nhật ABCD là
A. 2 a 2
B. 16 a 2
C. 8 a 2
D. 4 a 2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đểu bằng a. Gọi O là tâm của ABCD. Gọi M là trung điểm SC và M' là hình chiếu vuông góc của M lên (ABCD). Diện tích của tam giác M' BD bằng
A. a 2 6 8
B. a 2 2
C. a 2 2 8
D. a 2 4
Trong không gian, cho hình thang cân ABCD có AB//CD, A B = a , C D = 2 a , A D = a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB. CD. Gọi K là khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thành ABCD quanh trục MN. Tính diện tích toàn phần S φ của khối K.
A. S φ = 9 π a 2 4
B. S φ = 17 π a 2 4
C. S φ = 7 π a 2 4
D. S φ = 11 π a 2 4
Trong không gian, cho hình thang cân ABCD có AB//CD, AB = a, CD = 2a, AD = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB. CD. Gọi K là khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thành ABCD quanh trục MN. Tính diện tích toàn phần S t p của khối K.
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm AB. Cho tứ giác AMCD và các điểm trong của nó quay quanh trục AD ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.
Trong không gian, cho hình thang cân ABCD có AB//CD, AB = a, CD = 2a, AD = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi K là khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang ABCD quanh trục MN. Tính diệc tích xung quanh S x q của khối K
A. S x q = πa 2 2
B. S x q = 3 πa 2 2
C. S x q = 3 πa 2
D. S x q = πa 2
Gọi S là giao điểm của AD và BC. Nếu quay tam giác SCD quanh trục SN, các đoạn thẳng SC. SB lần lượt tạo ra mặt xung quanh của hình nón ( H 1 ) v à ( H 2 ) .
Tam giác ABC vuông tại B, AB = 10, BC = 4 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Thể tích khối tròn xoay do hình thang vuông BMNC quay một vòng quanh MB là:
A. 40 π 3
B. 20 π 3
C. 120 π 3
D. 140 π 3
Đáp án D
Xét khối nón tròn xoay ( N 1 ) được tạo thành khi quay tam giác AMN quanh trục A B ⇒ N 1 có bán kính đáy r 1 = M N = 2 ; chiều cao h 1 = A M = 5 . Suy ra thể tích khối nón ( N 1 ) là V 1 = 1 3 πr 1 2 h = 1 3 π . 2 2 . 5 = 20 π 3 .
Xét khối nón tròn xoay N 2 được tạo thành khi quay tam giác ABC
quanh trục A B ⇒ N 2 có bán kính đáy r 2 = B C = 4 ; chiều cao h 2 = A B = 10 .
Suy ra thể tích khối nón N 2 là V 2 = 1 3 πr 2 2 h 2 = 1 3 π . 4 2 . 10 = 160 π 3 .
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V = V 1 - V 2 = 160 π 3 - 20 π 3 = 140 π 3 .
