Cho:
a+b+c>0
ab+bc+ca>0
abc>0
Chứng minh cả 3 số đều dương
Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn:
a + b + c > 0; ab + bc + ca; abc > 0
Chứng minh rằng cả 3 số đều là các số nguyên dương.
* Cho a,b,c≥0
Chứng minh rằng a+b+c≥\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
$\Leftrightarrow 2a+2b+2c \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$
$\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a \ge 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2 \ge 0$ luôn đúng với $a,b,c \ge 0$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Ta có: \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2};\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}{2};\sqrt{ca}\le\dfrac{c+a}{2}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\dfrac{a+b+b+c+c+a}{2}\)\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
Cho a+b+c>0
ab+bc+ca>0
abc>0
Chứng minh cả 3 số a,b,c đều dương
cách khác :
Giả sử a ; b ; c đều không chia hết cho 3 ; khi đó a^3 ; b^3 ; c^3 đều không chia hết cho 27
=> a^3 ; b^3 ; c^3 đều khác 27x với x thuộc Z
=> a^3 + b^3 + c^3 khác 27x + 27x + 27x = 9^2 x (trái với gt)
=> đpcm
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.
Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0
=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0
=>a+b+c<0(vô lý).
Vậy điều giả sử trên là sai,
a,b,c là 3 số dương.
cách khác :
Giả sử a ; b ; c đều không chia hết cho 3 ; khi đó a^3 ; b^3 ; c^3 đều không chia hết cho 27
=> a^3 ; b^3 ; c^3 đều khác 27x với x thuộc Z
=> a^3 + b^3 + c^3 khác 27x + 27x + 27x = 9^2 x (trái với gt)
=> đpcm
ủng hộ mình trong 740 nha
Cho a+b+c > 0 ; ab+bc+ca > 0 ; abc>0
Cm cả 3 số a,b,c đều dương
\(\hept{\begin{cases}a+b+c>0\\ab+bc+ca>0\\abc>0\end{cases}}\)CMR cả 3 số a,b,c đều dương
Cho các số $a$, $b$, $c$ thỏa mãn các điều kiện: $\left\{ \begin{aligned} &a + b + c > 0\\ &ab + bc + ca > 0 \\ &abc > 0\\ \end{aligned} \right.$.
Chứng minh cả ba số $a$, $b$, $c$ đều dương.
Giả sử a <0
Vì abc>0 nên bc <0
Có ab+bc+ca>0
<=>a(b+c)>-bc
Vì bc<0=>-bc>0
=>a(b+c)>0
Mà a<0 nên b+c<0
=> a+b+c<0
Mà theo đề a+b+c>0
=> điều giả sử sai
=> điều pk chứng minh
Giả sử ba số , , không đồng thời là các số dương thì có ít nhất một số không dương.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử a ≤ 0
Nếu thì (mâu thuẫn với giả thiết
Nếu thì từ .
Ta có (mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy cả ba số , và đều dương.
Giả sử cả ba số a,b,c không đồng thời dương thì ta có ít nhất một số không dương :
Giả sử : \(a\le0\) ta có :
\(\Rightarrow\) Nếu a = 0 thì abc = 0 (không thỏa mãn đk)
\(\Rightarrow\) Nếu a < 0 thì abc > 0 \(\Rightarrow\) bc < 0
Ta có : ab+bc+ca > 0 \(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)+bc>0\) \(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)>-bc\) \(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)>0\) \(\Rightarrow b+c< 0\) \(\Rightarrow a+b+c< 0\) (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy cả ba số a,b,c đều dương
K=a√a4+7+b√b4+7+c√c4+7K=aa4+7+bb4+7+cc4+7
a,b,c>0
ab+bc+ca=3ab+bc+ca=3
tìm max K ?
Cho a2+b2 +c2 -ab-ac-bc=0
Chứng minh a=b=c
\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\\\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\\\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0\\\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0\)
Ta thấy: \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\forall b;c\)
\(\left(a-c\right)^2\ge0\forall a;c\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\forall a;b;c\)
Mặt khác: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\left(dpcm\right)\)
#\(Toru\)
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:
a a 2 + b c + b b 2 + c a + c c 2 + a b ≤ 3 2
Từ điều kiện đề bài ta có a b + b c + c a a b c = 3 ⇔ 1 a + 1 b + 1 c = 3
Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:
a 2 + b c ≥ 2 a 2 . b c = 2 a b c ⇒ a a 2 + b c ≤ 2 2 a b c = 1 2 b c 1 b . 1 c ≤ 1 2 1 b + 1 c ⇒ a a 2 + b c ≤ 1 4 1 b + 1 c
Tương tự ta có:
b b 2 + c a ≤ 1 4 1 c + 1 a ; c c 2 + a b ≤ 1 4 1 a + 1 b ⇒ a a 2 + b c + b b 2 + c a + c c 2 + a b ≤ 1 2 1 a + 1 b + 1 c = 3 2 .