$a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

$\Leftrightarrow 2a+2b+2c \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$

$\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a \ge 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2 \ge 0$ luôn đúng với $a,b,c \ge 0$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Ta có: \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2};\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}{2};\sqrt{ca}\le\dfrac{c+a}{2}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\dfrac{a+b+b+c+c+a}{2}\)\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)

cách khác : 

Giả sử a ; b ; c đều không chia hết cho 3 ; khi đó a^3 ; b^3 ; c^3 đều không chia hết cho 27 
=> a^3 ; b^3 ; c^3 đều khác 27x với x thuộc Z 
=> a^3 + b^3 + c^3 khác 27x + 27x + 27x = 9^2 x (trái với gt) 
=> đpcm

Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.

Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0

=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0

=>a+b+c<0(vô lý).

Vậy điều giả sử trên là sai, 
a,b,c là 3 số dương.

cách khác : 

Giả sử a ; b ; c đều không chia hết cho 3 ; khi đó a^3 ; b^3 ; c^3 đều không chia hết cho 27 
=> a^3 ; b^3 ; c^3 đều khác 27x với x thuộc Z 
=> a^3 + b^3 + c^3 khác 27x + 27x + 27x = 9^2 x (trái với gt) 
=> đpcm

ủng hộ mình trong 740 nha

ko giỏi toán chứng minh

Giả sử a <0

Vì abc>0 nên bc <0

Có ab+bc+ca>0

<=>a(b+c)>-bc

Vì bc<0=>-bc>0

=>a(b+c)>0

Mà a<0 nên b+c<0

=> a+b+c<0

Mà theo đề a+b+c>0

=> điều giả sử sai

=> điều pk chứng minh

Giả sử ba số $a$, $b$, $c$ không đồng thời là các số dương thì có ít nhất một số không dương.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a ≤ 0 

 Nếu $a=0$ thì $abc=0$ (mâu thuẫn với giả thiết $abc>0)$

 Nếu $a<0$ thì từ $abc>0\Rightarrow bc<0$.

Ta có $ab+bc+ca>0\iff a(b+c)>-bc\Rightarrow a(b+c)>0\Rightarrow b+c<0\Rightarrow a+b+c<0$ (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy cả ba số $a$, $b$ và $c$ đều dương.

Giả sử cả ba số a,b,c không đồng thời dương thì ta có ít nhất một số không dương : 

Giả sử : \(a\le0\) ta có :

\(\Rightarrow\) Nếu a = 0 thì abc = 0 (không thỏa mãn đk)

\(\Rightarrow\) Nếu a < 0 thì abc > 0 \(\Rightarrow\) bc < 0 

Ta có : ab+bc+ca > 0 \(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)+bc>0\) \(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)>-bc\)  \(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)>0\) \(\Rightarrow b+c< 0\) \(\Rightarrow a+b+c< 0\) (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy cả ba số a,b,c đều dương 

\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\\\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\\\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0\\\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0\)

Ta thấy: \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\)

              \(\left(b-c\right)^2\ge0\forall b;c\)

              \(\left(a-c\right)^2\ge0\forall a;c\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\forall a;b;c\)

Mặt khác: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\left(dpcm\right)\)

#\(Toru\)

Từ điều kiện đề bài ta có  a b + b c + c a a b c = 3 ⇔ 1 a + 1 b + 1 c = 3  

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

a 2 + b c ≥ 2 a 2 . b c = 2 a b c ⇒ a a 2 + b c ≤ 2 2 a b c = 1 2 b c 1 b . 1 c ≤ 1 2 1 b + 1 c ⇒ a a 2 + b c ≤ 1 4 1 b + 1 c

Tương tự ta có: 

b b 2 + c a ≤ 1 4 1 c + 1 a ; c c 2 + a b ≤ 1 4 1 a + 1 b ⇒ a a 2 + b c + b b 2 + c a + c c 2 + a b ≤ 1 2 1 a + 1 b + 1 c = 3 2 .