Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và S B D ^ = 60 ° . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO.
A. a 5 2
B. a 2 2
C. a 2 5
D. a 5 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SO tạo với mặt phẳng đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. a 3 2 2
B. a 3 2 3
C. a 3 2 6
D. a 3 2
Đáp án C
Ta có tam giác SAO vuông cân tạiA.
Suy ra:
S
A
=
O
A
=
A
C
2
=
a
2
2
Vậy : V S . A B C D = 1 3 . S O . S A B C D = a 3 2 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SO tạo với mặt phẳng đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD
A. V = a 3 2 2
B. V = a 3 2 3
C. V = a 3 2 6
D. V = a 3 2
Cho hình chóp S . A B C D có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên S A = a 2 và vuông góc với đáy (ABCD). Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) bằng
A. a
B. a 3
C. a 3 2
D. a 6 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên \(SA=a\sqrt{3}\) và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
Từ A kẻ \(AH\perp SO\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\)
\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o. Bán kính mặt cầu tâm S và tiếp xúc với BD theo a là:
A. a 6 3
B. a 6 6
C. a 6 2
D. a 6
Đáp án D
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó SO vuông góc với BD. Mặt cầu S(S,r) tiếp xúc với BD khi và chỉ khi r=SO. Từ giả thiết ta có
=> AB = SA = 2a => AO = a 2 => r = SO = a 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)
A. arcsin 1 4 B. arcsin 1 3 C. arcsin 1 3 D. arcsin 2 3
B. arcsin 1 3
C. arcsin 1 3
D. arcsin 2 3
Đáp án A.
Gọi H là hình chiếu của C trên SO và góc S O C ^ tù nên H nằm ngoài đoạn SO => CH ⊥ (SBD)
=> Góc tạo bởi SC và (SBD) là C S O ^
Lại có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)
A. arcsin 1 4 .
B. arcsin 1 3 .
C. arcsin 1 3 .
D. arcsin 2 3 .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và S B D = 60 ° . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO
A. a 5 2
B. a 2 2
C. a 2 5
D. a 5 5
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC thì AB / / EF ⇒ AB / / (SEF)
Mà
Dựng A H ⊥ S E
Ta thấy: FE / / AB, A B ⊥ ( S A D ) ⇒ F E ⊥ ( S A D ) ⇒ F E ⊥ A H
Mà A H ⊥ S E nên A H ⊥ ( S E F ) ⇔ d ( A , ( S E F ) ) = A H
ABCD là hình vuông cạnh a nên B D = a 2
Dễ dàng chứng minh được ∆ S A B = ∆ S A D c . g . c ⇒ S B = S D
Tam giác SBD cân có S B D = 60 ° nên đều ⇒ S D = B D = a 2
Tam giác SAD vuông tại A có S A = S D 2 - A D 2 = 2 a 2 - a 2 = a
Tam giác SAE vuông tại A có
Do đó
Chọn đáp án D.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a*. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và S B D = 60 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO.
A. a 5 2
B. a 2 2
C. a 2 5
D. a 5 5
Phương pháp:
- Dựng mặt phẳng chứa SO và song song với AB .
- Sử dụng lý thuyết: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng kia.
- Đưa bài toán về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và kết luận.
Cách giải:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC thì AB / / EF => AB / / (SEF)
Mà
ABCD là hình vuông cạnh a nên BD = a 2
Dễ dàng chứng minh được
Tam giác SBD cân có
S
B
D
=
60
0
Tam giác SAD vuông tại A có
Tam giác SAE vuông tại A có
Do đó
Chọn D.