c) \(\left(x+\dfrac{y}{x}\right)^3\)

\(=\left(\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{y}{x}\right)^3\)

\(=\left(\dfrac{x^2+y}{x}\right)^3\)

\(=\dfrac{x^6+3x^4y+3x^2y^3+y^3}{x^3}\)

f) \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^3\)

\(=x^3-3\cdot x^2\cdot\dfrac{1}{2}+3\cdot x\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\)

\(=x^3-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{8}\)

h) \(\left(x+\dfrac{y^2}{2}\right)^3\)

\(=\left(\dfrac{2x}{2}+\dfrac{y^2}{2}\right)^3\)

\(=\left(\dfrac{2x+y^2}{2}\right)^3\)

\(=\dfrac{8x^3+12x^2y^2+6xy^4+y^6}{8}\)

k) \(\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3\)

\(=x^3-3\cdot x^2\cdot\dfrac{1}{3}+3\cdot x\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\)

\(=x^3-x^2+\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{27}\)

m) \(\left(x+\dfrac{y^2}{3}\right)^3\)

\(=\left(\dfrac{3x}{3}+\dfrac{y^2}{3}\right)^3\)

\(=\left(\dfrac{3x+y^2}{3}\right)^3\)

\(=\dfrac{27x^3+27x^2y^2+9xy^4+y^6}{27}\)

Q) \(2\left(x^2+\dfrac{1}{2}y\right)\left(2x^2-y\right)\)

\(=2\left(2x^4-x^2y+x^2y-\dfrac{1}{2}y^2\right)\)

\(=2\left(2x^4-\dfrac{1}{2}y^2\right)\)

\(=4x^4-y^2\)

Lời giải:

a. Áp dụng TCDTSBN:

\(\frac{x}{y}=\frac{2}{5}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{2x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{2x-y}{4-5}=\frac{3}{-1}=-3\)

$\Rightarrow x=-3.2=-6; y=-3.5=-15$

b. Áp dụng TCDTSBN:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}; \frac{y}{4}=\frac{z}{7}$

$\Rightarrow \frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{21}$

$=\frac{2x}{16}=\frac{y}{12}=\frac{z}{21}=\frac{2x-y+z}{16-12+21}=\frac{50}{25}=2$

$\Rightarrow x=8.2=16; y=2.12=24; z=2.21=42$

c.

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$

$\Rightarrow \frac{x^2}{4}=\frac{y^2}{9}=\frac{z^2}{16}=\frac{2z^2}{32}$

$=\frac{x^2-y^2+2z^2}{4-9+32}=\frac{108}{27}=4$

$\Rightarrow x^2=4.4=16; y^2=9.4=36; z^2=4.4=16$

Kết hợp với đkxđ suy ra:
$(x,y,z)=(4,6,4); (-4; -6; -4)$

a) \(=6a-3+15-5a=a+12\)

b) \(=25x-12x+4+35-14x=-x+39\)

d) \(=2ab+8a^2-b^2-4ab+2ab-6a^2=2a^2-b^2\)

e) \(=x+x^2-x^3+x^4-x^5+1+x-x^2+x^3-x^4=-x^5+2x+1\)

f) \(=6y^3-3y^2+y-y+y^2-y^3-y^2+y=5y^3-3y^2+y\)

a) 3( 2a -1) +5( 3-a)

   = 3. 2a -3.1 +5. 3- 5.a

   = 6a -3+ 15-5a

   =(6a -5a )+ (-3+ 15)

b) 25x - 4(3x - 1) +7(5 - 2x)

   = 25x -4.3x + 4.1 + 7.5 - 7.2

   =25x - 12x + 4 +35 - 14x

   = (25x-12x-14x)+(4+35)

   = -x=39

c) -12x3 -x1-2x-18x2

   = -36x-x-2x-36x

   = -75x

d) (2a-b)(b+4a)+2a(b-3a)

   = 2ab+2a4a-bb-b4a+2ab-2a3b

   = 2ab+8a²-b²-4ab+2ab-6a²

   =(2ab-4ab+2ab)+(8a²-6a²)-b²

   = 2a²-b²

e) (x+1)(2+x-x2+x3-x4)

   = (x+1)(2-2x)

   = x2-x2x+1.2-1.2x

   =(2x-2x)-2x²+2

   = -2x²+2

x^2 – y^2 =(x+y)*(x-y) (HĐT số 3)

hằng đẳng thức là thế mà bạn bắt giải chi tiết ra...

hằng đẳng thức là như thế mà

Ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

Áp dụng vào bài toán có :

\(P\le\frac{x+y}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}+\frac{y+z}{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}+\frac{z+x}{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}\) \(=\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\)

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\), \(\frac{4}{y+z}\le\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\), \(\frac{4}{z+x}\le\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\)

Do đó : \(P\le\frac{1}{2}\left[2.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right]=2016\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{672}\)

P/s : Dấu "=" không chắc lắm :))

thanks bạn mình hiểu sương sương rồi:))

c: =>x+y-xy=-16

=>x+y-xy-1=-17

=>x(1-y)-(1-y)=-17

=>(1-y)(x-1)=-17

=>(x-1;y-1)=17

=>(x-1;y-1) thuộc {(1;17); (17;1); (-1;-17); (-17;-1)}

=>(x,y) thuộc {(2;18); (18;2); (0;-16); (-16;0)}

b: Tham khảo:

Bạn áp dụng bất đẳng thức sau để giải : 
1/x + 1/y >= 4/(x+y) (cái này thì dẽ chứng mình thôi, dùng cô si cho 2 số đó, tiếp tục dùng cô si dưới mẫu là ra) (*) 

Áp dụng kết quả đó ta có 
1/ (2x +y+z) = 1/(x+ y+z+x) <= 1/4 *[ 1/(x+y) + 1/(y+z)] 
rồ tiếp tục áp dụng kết quả (*) ta lại có 
1/4 *[1/(x+y) + 1/(y+z)] <= 1/16 *( 1/x + 1/y + 1/z + 1/x) 
Tương tự ta có 1/(2y + x +z) <= 1/16 *(1/x+1/y +1/z + 1/y) 
Cái cuối cùng cũng tương tự như vậy 

Bạn áp dụng bất đẳng thức sau để giải : 
1/x + 1/y >= 4/(x+y) (cái này thì dẽ chứng mình thôi, dùng cô si cho 2 số đó, tiếp tục dùng cô si dưới mẫu là ra) (*) 

Áp dụng kết quả đó ta có 
1/ (2x +y+z) = 1/(x+ y+z+x) <= 1/4 *[ 1/(x+y) + 1/(y+z)] 
rồ tiếp tục áp dụng kết quả (*) ta lại có 
1/4 *[1/(x+y) + 1/(y+z)] <= 1/16 *( 1/x + 1/y + 1/z + 1/x) 
Tương tự ta có 1/(2y + x +z) <= 1/16 *(1/x+1/y +1/z + 1/y) 
Cái cuối cùng cũng tương tự như vậy