Phương pháp:

Cho tứ diện vuông ABCD (vuông tại đỉnh A), AH là đường vuông góc ứng với mặt huyền, khi đó:

a) Ta có AB = AD = AA′ = a

và C ′ B   =   C ′ D   =   C ′ A ′   =   a 2

Vì hai điểm A và C’ cách đều ba đỉnh của tam giác A’BD nên A và C’ thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BDA’ . Vậy AC′ ⊥ (BDA′). Mặt khác vì mặt phẳng (ACC’A’) chứa đường thẳng AC’ mà AC′ ⊥ (BDA′) nên ta suy ra mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với mặt phẳng (BDA’)

b) Ta có ACC’ là tam giác vuông có cạnh A C   =   a 2 và CC’ = a

Vậy A C ′ 2   =   A C 2   +   C C ′ 2  

⇒   A C ′ 2   =   2 a 2   +   a 2   =   3 a 2 .   V ậ y   A C ′   =   a 3 .

Đáp án D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có:  BD = A’B = A’D nên tam giác A’BD là tam giác đều.

Lại có:  AB = AD = AA’ nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp(A’BD) là tâm của tam giác BDA’.

Đáp án D

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ,  CD → = a i → ;  CB → = a j → ;  CC ' → = a k →

Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a; 0; 0), D’(a; 0; a)

CA ' →  = (a; a; a),  DD ' →  = (0; 0; a)

Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa  CA ' → và song song với  DD ' → . Mặt phẳng ( α ) có vecto pháp tuyến là: n →  =  CA ' →   ∧   DD ' →  = ( a 2 ; − a 2 ; 0) hay x – y = 0

Phương trình tổng quát của ( α ) là x – y = 0.

Ta có:

d(CA′, DD′) = d(D,( α )) = 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’ là 

Đáp án B