Sửa đề: N là trung điểm của BC

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABD có

AO,DM là các đường trung tuyến

AO cắt DM tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔABD

Xét ΔCBD có

DN,CO là các đường trung tuyến

DN cắt CO tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔCBD

Xét ΔADB có 

I là trọng tâm

AO là đường trung tuyến

Do đó: \(AI=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}AC\)

Xét ΔCBD có

CO là đường trung tuyến

K là trọng tâm

Do đó: \(CK=\dfrac{2}{3}CO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{3}AC\)

Ta có: AI+IK+KC=AC

=>\(IK+\dfrac{1}{3}AC+\dfrac{1}{3}AC=AC\)

=>\(IK=\dfrac{1}{3}AC\)

=>AI=IK=KC

Theo câu a, AICK là hình bình hành

⇒ AK//CI. Khi đó , ta có:

Mặt khác, ta lại có: AI = IB, CK = KD theo giải thiết:

ÁP dụng định lý đường trung bình vào tam giác ABM, DCN ta có:

 ⇒ DM = MN = NB

a) Vì AB = 3 x AM, AC = 3 x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC.

Từ đó suy ra : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C

dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)

Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC và tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M bằng chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC. Do đó BMNC là hình thang.

Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN).

Hơn nữa từ AC = 3 x AN, nên NC = 2 x AN, do đó dt (NBC) = 2 x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy ra dt (NBC) = 3/2 x 2 x dt (MBN) = 3 x dt (MBN).

Mà tam giác NBC và tam giác MBN có chiều cao bằng nhau (cùng là chiều cao của hình thang BMNC). Vì vậy đáy BC = 3 x MN.

b) Gọi BN cắt CM tại O. Ta sẽ chứng tỏ AI cũng cắt BN tại O. Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC tại K, ta sẽ chứng tỏ K là điểm chính giữa của BC (hay K trùng với I).

Theo phần a) ta đã có dt (NBC) = 2 x dt (ABN). Mà tam giác NBC và tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp 2 lần chiều cao từ A xuống đáy BN. Nhưng đó là chiều cao tương ứng của hai tam giác BCO và BAO có chung đáy BO, vì vậy dt (BCO) = 2 x dt (BAO)

Tương tự ta cũng có dt (BCO) = 2 x dt (CAO).

Do đó dt (BAO) = dt (CAO). Hai tam giác BAO và CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B bằng chiều cao từ C xuống đáy AO. Đó cũng là chiều cao tương ứng của hai tam giác BOK và COK có chung đáy OK, vì vậy dt (BOK) = dt (COK). Mà hai tam giác BOK và tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K là điểm chính giữa của cạnh BC. Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cùng cắt nhau tại điểm O.

1/ Ta có AB//=CD (t/c hình bình hành)

KA=KB; IC=ID (đề bài)

=> AK//=IC => AKCI là hình bình hành => AI//CK

2/ Từ AI//CK và KB=KA theo talet

\(\Rightarrow\frac{KB}{KA}=\frac{NB}{NM}=1\Rightarrow NB=NM\left(1\right)\)

Từ AI//CK và ID=IC theo talet

\(\Rightarrow\frac{ID}{IC}=\frac{MD}{NM}=1\Rightarrow MD=MN\left(2\right)\)

Mà BD = MD + NM + NB (3)

Từ (1) (2) và (3) => MD=NM=NB => \(DM=\frac{BD}{3}\)

3/ Gọi O là giao của AC và BD

Do ABCD là hình bình hành => BD cắt BC tại O là trung điểm của AC (t/c đường chéo hbh)

Do AKCI là hình bình hành => IK cắt BC tại trung điểm O của BC (t/c đường chéo hbh)

=> BD; AC; IK đồng qui tại O

bn tự kẻ hình nha!

a) ta có: AB = DC ( ACBD là hình bình hành)

----> BM = CN ( = 1/2. AB = 1/2 . DC)

mà BM // CN

-----> BMNC là h.b.h

b) xét tam giác AMD và tam giác CNB

có: AM = CN ( = 1/2.AB = 1/2.CD)

AD = BC (gt)

^DAM = ^NCB (gt)

-----> tg AMD = tg CNB (c-g-c)

-----> DM = NB ( 2 cạnh t/ ư)

c) AN cắt DM tại I, MC cắt BN tại K. chứng minh : AC,BD,MN,IK

bài làm

Gọi AC cắt DB tại E

ta có: tg AMD = tg CNB (cmt)

-----> ^AMD = ^CNB

mà ^AMD = ^MDN ( AB//DC)

-----> ^CNB = ^MDN

mà ^CNB, ^MDN nằm ở vị trí đồng vị 

-----> DM// BN

và DM = BN (pb)

-----> DMBN là h.b.h

-------> BD cắt MN tại E ( do 2 đường chéo của h.b.h cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

tương tự  bn cx chứng minh: MINK là h.b.h   ( MI = NK = 1/2.DM = 1/2.BN)

-----> MN cắt IK tại E

------------> AC,BD, MN,IK đồng quy tại E