Question

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. DM cắt AC ở I, DN cắt AC ở K. Chứng minh rằng: AI = IK = KC

Answer 1

Sửa đề: N là trung điểm của BC

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABD có

AO,DM là các đường trung tuyến

AO cắt DM tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔABD

Xét ΔCBD có

DN,CO là các đường trung tuyến

DN cắt CO tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔCBD

Xét ΔADB có 

I là trọng tâm

AO là đường trung tuyến

Do đó: \(AI=\dfrac{2}{3}AO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}AC\)

Xét ΔCBD có

CO là đường trung tuyến

K là trọng tâm

Do đó: \(CK=\dfrac{2}{3}CO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{3}AC\)

Ta có: AI+IK+KC=AC

=>\(IK+\dfrac{1}{3}AC+\dfrac{1}{3}AC=AC\)

=>\(IK=\dfrac{1}{3}AC\)

=>AI=IK=KC