Đáp án D

Do M C A ' C = 3 4 ⇒ d N ; A B C d M ; A B C = 3 4  

Ta có

  V M . A B C D = 1 3 S A B C D . d M ; A B C D = 1 3 S A B C D . 3 4 d A ; A B C D = 1 4 V A B C D . A ' B ' C ' D ' ⇒ V 1 V 2 = 1 4

Chọn đáp án C

Chọn C

Ta có AC'=6 nên AB = 2 3 .

Mặt cầu (S) có tâm I(2;4;-1)   trùng với tâm hình lập phương  ABCD.A'B'C'D' và có bán kính R =1 < A B 2 nên mặt cầu (S) nằm trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.

Với mọi điểm M nằm trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', tổng các khoảng cách từ điểm M đến 6 mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' bằng 3AB = 6 3 .

Vậy từ một điểm M bất kỳ thuộc mặt cầu (S), tổng các khoảng cách từ điểm M đến 6 mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' bằng 6 3 .

Đặt :  \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b,}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}\)

Ta có : \(\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

Do MM//BD' nên tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BD'}\)

hay :

 \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}\) (1)

Đặt 

\(\frac{MC}{AC}=x,\frac{C'N}{C'D}=y;x,y\in\left(0;1\right)\)

Ta có :

\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a,}\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b,}\)

Suy ra : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'N}\)

                    \(=\overrightarrow{xAC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{yC'N}\)

                    \(=x\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\right)+\overrightarrow{b}+y\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\)

                    \(=\left(y-x\right)\overrightarrow{a}+\left(1-y\right)\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{c}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

\(k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}=\left(y-x\right)\overrightarrow{a}+\left(1-y\right)\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{c}\)

\(\Leftrightarrow\left(k+x-y\right)\overrightarrow{a}+\left(k+y-1\right)\overrightarrow{b}+\left(k-x\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\) (3)

Do \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không đồng phửng nên (3) tương đương với

\(\begin{cases}k+x-y=0\\k+y-1=0\\k-x=0\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{3}=k\\y=\frac{2}{3}\end{cases}\)

Vậy với \(3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC,}3\overrightarrow{C'N}=2\overrightarrow{C'D}\) 

thì MN//BD' và khi đó \(\frac{MN}{BD'}=\frac{1}{3}\)

\(\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{A'N}=\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}\right)\left(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{B'N}\right)\)

\(=\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{B'N}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{B'N}\)

( chứng minh được \(DA\perp A'B',AM\perp B'N\) )

\(=0+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C'B'}.\left(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{C'B'}\right)+0\)

\(=\dfrac{1}{2}AB^2-\dfrac{1}{2}C'B'^2=0\)

Suy ra \(DM\perp A'N\)

Ý A

Chọn A