Gọi H là tâm của ABCD\(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

      M là trung điểm của BC \(\Rightarrow BC\perp\left(SHM\right)\)

Do các mặt bên tạo với đáy cùng 1 góc => \(\widehat{SHM}\) bằng góc tạo bởi 2 mặt bên với đáy

Tính được \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}'HM=\frac{a}{2}\)

\(\tan\widehat{SMH}=\frac{SH}{MH}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SMN}=60^0\)

Lập luận được tâm khối cầu là điểm I của SH với trung trực SC trong (SHC)

Tính được bán kính khối cầu do tam giác SNI đồng dạng với tam giác SHC

\(\Rightarrow SI=\frac{SN.SC}{SH}=\frac{5a}{4\sqrt{3}}\)

Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi R^2=\frac{125a^3\sqrt{3}\pi}{432}\)

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow AB\perp OM\Rightarrow AB\perp\left(SOM\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SMO}\) là góc giữa mặt bên  và đáy hay \(\widehat{SMO}=60^0\)

\(SO=OM.tan\widehat{SMO}=\dfrac{a}{2}.tan60^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(V=\dfrac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a^2=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}\)

Diện tích đáy lớn là: \(S = \frac{{{{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \)

Diện tích đáy bé là: \(S' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Thể tích của bồn chứa là: \(V = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\left( {{a^2}\sqrt 3  + \sqrt {{a^2}\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}  + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = \frac{{7\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}\)

Chọn C.

Đáp án D

Gọi O là tâm của hình vuông   A B C D ⇒ S O ⊥ A B C D

vÌ S O ⊥ A B C D  suy ra   S A ; A B C D ^ = S A ; O A = S A O ^ ^ = 60 0

Tam giác  S A O    vuông tại O, Có   tan S A O ^ = S O O A ⇒ S O = tan 60 0 . a 2 2 = a 6 2

Vậy thể tích khối chóp là   V = 1 3 . S O . S A B C D = 1 3 . a 6 2 . a 2 = a 3 6 6

Đáp án D