Cho hình lăng trụ đứng A B C . A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh B C = a 6 . Góc giữa mặt phẳng A B ' C và mặt phẳng B C C ' B ' là 60 ° Tính thể tích khối đa diện A B ' C A ' C '
A. 3 a 3
B. 3 3 a 3 2
C. 3 a 3 2
D. 3 a 3 3
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6. Góc giữa mặt phẳng (AB'C) và mặt phẳng (BCC'B') bằng 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'?
A . V = 2 a 3 3 3
B . V = a 3 3 2
C . V = 3 a 3 3 4
D . V = 3 a 3 3 2
Chọn D
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6 nên AB = AC = a√3.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A (0;0;0), B (0; a√3; 0), C (a√3;0;0), A' (0;0;z) (z > 0).
VTPT của (BCC'B') là:
VTPT của mặt phẳng (BA'C) là:
Vì góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng nên:
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:
Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC=a 6 . Góc giữa mặt phẳng (AB'C) và mặt phẳng (BCC'B') bằng 60 0 . Tính thể tích V của khối đa diện
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, A B = B C = a , B B ' = a 3 . Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng B C C ' B ' .
A. 45 °
B. 30 °
C. 90 °
D. 60 °
ĐÁP ÁN B
Ta có tan A ' B B ' ⏜ = A ' B ' B B ' = a a 3 = 1 3 ⇒ A ' B B ' ⏜ = 30 °
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a, B B ' = a 3 . Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (BCC'B').
A. 60 0 .
B. 90 0 .
C. 45 0 .
D. 30 0 .
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a, BB' = a 3 . Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (BCC'B').
A. 60 °
B. 90 °
C. 45 °
D. 30 °
Chọn D.
Ta có: 
nên BB' là hình chiếu của A'B trên (BCC'B')
Vậy góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (BCC'B') là góc giữa hai đường thẳng A'B và BB' và là góc A ' B B ' ^
Lại có: 
Cho khối lăng trụ đứng A B C . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, A B = a , B B ' = a 3 . Góc giữa đường thẳng A ' B và mặt phẳng B C C ' B ' bằng
A. 30
B. 90
C. 45
D. 60
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có dayd là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCC'B') và mặt phẳng đáy là 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC
Gọi D là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD\perp BC\\AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)
Gọi E là trung điểm BD \(\Rightarrow\) HE là đường trung bình tam giác ABD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HE||AD\Rightarrow HE\perp BC\\HE=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\end{matrix}\right.\)
Mà \(B'H\perp\left(ABC\right)\Rightarrow B'H\perp BC\Rightarrow BC\perp\left(B'HE\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{B'EH}\) là góc giữa (BCC'B') và đáy
\(\Rightarrow\widehat{B'HE}=60^0\)
\(\Rightarrow B'H=HE.tan60^0=\dfrac{3a}{4}\)
\(AA'||BB'\Rightarrow AA'||\left(BCC'B'\right)\Rightarrow d\left(AA';BC\right)=d\left(AA';\left(BCC'B'\right)\right)=d\left(A;\left(BCC'B'\right)\right)\)
Mà H là trung điểm AB \(\Rightarrow AB=2HB\Rightarrow d\left(A;\left(BCC'B'\right)\right)=2d\left(H;\left(BCC'B'\right)\right)\)
Từ H kẻ \(HK\perp B'E\)
Do \(BC\perp\left(B'HE\right)\Rightarrow\left(BCC'B'\right)\perp\left(B'HE\right)\)
Mà B'E là giao tuyến (B'HE) và (BCC'B')
\(\Rightarrow HK\perp\left(BCC'B'\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(BCC'B'\right)\right)\)
Hệ thức lượng:
\(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{B'H^2}+\dfrac{1}{HE^2}\Rightarrow HK=\dfrac{B'H.HE}{\sqrt{B'H^2+HE^2}}=\dfrac{3a}{8}\)
\(\Rightarrow d\left(AA';BC\right)=2HK=\dfrac{3a}{4}\)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AC=b, góc ACB= 60 ° . Góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (AA'C'C) bằng 30 ° . Tính theo b diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A'B'C'.
