Xét ΔAFH vuông tại F và ΔCDH vuông tại D có 

\(\widehat{AHF}=\widehat{CHD}\)

Do đó: ΔAFH\(\sim\)ΔCDH

Suy ra: HA/HC=HF/HD

hay \(HA\cdot HD=HF\cdot HC\left(1\right)\)

Xét ΔFHB vuông tại F và ΔEHC vuông tại E có 

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)

Do đó: ΔFHB\(\sim\)ΔEHC

Suy ra: HB/HC=HF/HE

hay \(HB\cdot HE=HF\cdot HC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(HA\cdot HD=HB\cdot HE=HC\cdot HF\)

Lời giải:

Xét tam giác $AHE$ và $BHD$ có:

$\widehat{AHE}=\widehat{BHD}$ (đối đỉnh)

$\widehat{AEH}=\widehat{BDH}=90^0$

$\Rightarrow \triangle AHE\sim \triangle BHD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AH}{BH}=\frac{HE}{HD}$

$\Rightarrow AH.DH=BH.EH (1)$

Xét tam giác $AHF$ và $CHD$ có:

$\widehat{AHF}=\widehat{CHD}$ (đối đỉnh)

$\widehat{AFH}=\widehat{CDH}=90^0$

$\Rightarrow \triangle AHF\sim \triangle CHD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AH}{CH}=\frac{HF}{HD}$

$\Rightarrow AH.HD=CH.FH(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow AH.DH=BH.EH=CH.FH$ (đpcm)

Hình vẽ:

\(\Delta ABH\) và \(\Delta ABD\) có chung đường cao kẻ từ \(B\rightarrow AD\) nên \(\frac{AH}{AD}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABD}}\) (1)

\(\Delta AHC\) và \(\Delta ADC\) có chung đường cao kẻ từ \(C\rightarrow AD\) nên \(\frac{AH}{AD}=\frac{S_{AHC}}{S_{ADC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

\(\frac{AH}{AD}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AHC}}{S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABD}+S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{ACH}}{S_{ABC}}\) 

( Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau )

CMTT \(\frac{BH}{BE}=\frac{S_{ABH}+S_{BCH}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{CH}{CF}=\frac{S_{ACH}+S_{BCH}}{S_{ABC}}\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được :

\(\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=\frac{2\left(S_{ABH}+S_{ACH}+S_{BCH}\right)}{S_{ABC}}=\frac{2S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

a: Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có

góc DBH=góc DAC

=>ΔDBH đồng dạng với ΔDAC

=>DB/DA=DH/DC

=>DB*DC=DA*DH

b: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

=>góc AFE=góc ACB

=>ΔAFE đồng dạng với ΔACB

Xét ΔHFA vuông tại F và ΔHDC vuông tại D có

góc FHA=góc DHC

=>ΔHFA đồng dạng với ΔHDC

=>HF/HD=HA/HC

=>HF*HC=HD*HA

Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

góc FHB=góc EHC

=>ΔHFB đồng dạng với ΔHEC

=>HF/HE=HB/HC

=>HF*HC=HB*HE

=>AH*DH+BH*EH=2*CH*FH