Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai măt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai măt phẳng S A B và A B C bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
A. 3 a 3 8
B. 3 a 3 12
C. 3 a 3 6
D. 3 a 3 4
Đáp án B
Gọi M là trung điểm của
S A ⇒ M A = M B = M C ⇒ Gọi H là trọng tâm của Δ A B C thì M H ⊥ A B C .
Gọi I là trung điểm của AB thì M I C ⊥ A B ⇒ S A B , A B C ^ = M I C ^ = 60 0 .
Ta có I H = 1 3 I C = 1 3 . a 3 2 = a 3 6 ⇒ M H = I H . tan 60 0 = a 2 ⇒ d C , A B C = 2 M H = a .
Vậy
V S . A B C = 1 3 . a . a 2 3 4 = a 3 3 12 .
Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
A. 3 a 3 8
B. 3 a 3 12
C. 3 a 3 6
D. 3 a 3 4
Chọn B
Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), suy ra S D ⊥ A B C .
Ta có S D ⊥ A B và S B ⊥ A B ( g t ) , suy ra A B ⊥ S B D ⇒ B A ⊥ B D .
Tương tự có A C ⊥ D C hay tam giác ACD vuông ở C.
Dễ thấy ∆ S B A = ∆ S C A (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB=SC. Từ đó ta chứng minh được ∆ S B D = ∆ S C D nên cũng có DB=DC.
Vậy DA là đường trung trực của BC, nên cũng là đường phân giác của góc B A C ^ .
Ta có
D
A
C
^
=
30
o
, suy ra
D
C
=
a
3
. Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là
S
B
D
^
=
60
o
suy ra
tan
S
B
D
^
=
S
D
B
D
⇒
S
D
=
B
D
tan
S
B
D
^
=
a
3
.
3
=
a
Vậy
V
S
.
A
B
C
=
1
3
.
S
∆
A
B
C
.
S
D
=
1
3
a
2
3
4
.
a
=
a
3
3
12
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60 ° . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
A. 3 3 a 8
B. 3 a 4
C. 3 3 a 6
D. 3 3 a 11
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60 0 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Chọn đáp án B
Gọi là H hình chiếu của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC). Khi đó, ta có
Ta có
Tương tự, ta cũng chứng minh được
Từ đó suy ra
Do SH ⊥ AB, BH ⊥ AB nên suy ra góc giữa (SAB) và (ABC) là góc SBH. Vậy SBH = 60 0
Trong tam giác vuông ABH, ta có
Trong tam giác vuông SHB, ta có
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. 5 π 15 18
B. 5 π 15 54
C. 4 π 3 27
D. 5 π 3
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(\widehat{BAC}=120^o\), \(AB=AC=a\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(B\), tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) và \(\left(ABC\right)\) bằng \(60^o\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt phẳng \(\left(ABC\right)\). Chứng minh rằng \(HB\) vuông góc \(AB\) và tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\)
Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A góc A B C ^ = 30 o ; tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABC). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:
A. a 6 5
B. a 6 3
C. a 3 3
D. a 6 6
Chọn D
Ta có tam giác ABC vuông tại A góc A B C ^ = 30 o và BC = a, suy ra AC = a 2 , AB = a 3 2
Lại có S A B ⊥ A B C C A ⊥ A B ⇒ A C ⊥ S A B , suy ra tam giác SAC vuông tại A.
Suy ra S A = S C 2 - A C 2 = a 2 - a 2 2 = a 3 2
Tam giác SAB có S A = a 3 2 , A B = a 3 2 , S B = a SB=a. Từ đó sử dụng công thức Hê-rông ta tính được S S A B = a 2 2 4 ⇒ S H = 2 S S A B A B = a 6 3 ⇒ B H = a 3 3 = 2 A B 3 .
Suy ra d(H,(SBC)) = 2 3 d A , S B C . Từ H kẻ H K ⊥ B C .
Kẻ H E ⊥ S K ⇒ H E ⊥ S B C
Ta dễ tính được H K = a 3 6 ⇒ d H , S B C = a 6 9 .
Vậy d A , S B C = 3 2 d H , S B C = 3 2 . a 6 9 = a 6 6 .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a; cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) bằng 60 ° . Khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) bằng
A. 2 a 5 15
B. 2 a 5 5
C. 2 a 3
D. a 3