chứng minh \(m\sqrt[m]{a}+n\sqrt[n]{b}\ge\left(m+n\right)\sqrt[m+n]{ab}\) với a;b>0; 1\(\le\)m,n \(\in\)N
Những câu hỏi liên quan
1. Cho a,b dương. Chứng minh: \(a^{m+n}+b^{m+n}\ge\frac{1}{2}\left(a^m+b^m\right)\)
2. Cho a,b dương. Chứng minh \(\frac{2ab}{a+b}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\sqrt{ab}+\frac{a+b}{2}\)
Chứng minh:
a)\(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
b)\(\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\forall a,b>0\)
c) Với a>b>0 và m>n (m,n \(\in\)N) chứng minh:
\(\frac{a^m-b^m}{a^m+b^m}>\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}\)
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn: \(a\ge c;b\ge c\)
Chứng minh rằng:
\(\sqrt{c.\left(a-c\right)}+\sqrt{c.\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Vì a ; b ; c dương , áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số dương , ta có :
\(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}\ge2\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ab}}\)
\(\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\ge2\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\)
\(\Rightarrow2\ge2\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ab}}+2\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\)
\(\Rightarrow1\ge\frac{\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}\ge\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{c}{b}=\frac{a-c}{a};\frac{c}{a}=\frac{b-c}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c}{b}+\frac{c}{a}=1\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
Vì \(a;b\ge c\Rightarrow a=b=2c\)
Vậy ...
Đúng 0
Bình luận (0)
BĐT cần chứng minh tương đương: \(\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ba}}+\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\le1\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a-c+c}{a}+\frac{c+b-c}{b}\right)=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh: \(|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\ge\frac{1}{n^2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}\) với mọi số nguyên dương m,n.
Cho A=\(\left(\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{b-a}\right)\div\frac{\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)^2+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
a) Rút gọn A
b) Tính A khi a thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}5a-2b=9\\-a+3b=6\end{matrix}\right.\)
c) Chứng minh A\(\ge\)0\(\forall\)a;b thỏa mãn ĐKXĐ.
Chứng minh rằng: \(\left|\dfrac{m}{n}-\sqrt{2}\right|\ge\dfrac{1}{n^2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}\)
1. Cho hai số a,b không âm : CMR frac{a+b}{2} ≥ sqrt{ab}
2. Với a ≥0, b≥0: CM sqrt{frac{a+b}{2}} ≥frac{sqrt{a}+sqrt{b}}{2}
3. Tìm số nguyên tố thõa mãn đẳng thức sau:
sqrt[3]{n+sqrt{n^2+8}}+sqrt{n-sqrt{n^2}+8}8
4. Tìm các số thực x,y,z thõa mãn :
sqrt{x}+sqrt{y-1}+sqrt{z-2}frac{1}{2}left(x+y+zright)
Đọc tiếp
1. Cho hai số a,b không âm : CMR \(\frac{a+b}{2}\) ≥ \(\sqrt{ab}\)
2. Với a ≥0, b≥0: CM \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\) ≥\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
3. Tìm số nguyên tố thõa mãn đẳng thức sau:
\(\sqrt[3]{n+\sqrt{n^2+8}}+\sqrt{n-\sqrt{n^2}+8}=8\)
4. Tìm các số thực x,y,z thõa mãn :
\(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Bài 1:
Ta có: a,b không âm(gt)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\) và \(\sqrt{b}\) được xác định
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Đúng 0
Bình luận (0)
Pleft[dfrac{sqrt{n}left(sqrt{m}+sqrt{n}right)}{sqrt{n}-sqrt{m}}-sqrt{m}right]:left(dfrac{m}{sqrt{m.n}+n}+dfrac{n}{sqrt{m.n}-m}-dfrac{m+n}{sqrt{m.n}}right) với m0;n0;mne n
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P biết m và n là 2 nghiệm của phương trình x^2-7x+40
c. Chứng minh: dfrac{1}{P} dfrac{1}{sqrt{m+n}}
Đọc tiếp
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{n}\left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}-\sqrt{m}\right]:\left(\dfrac{m}{\sqrt{m.n}+n}+\dfrac{n}{\sqrt{m.n}-m}-\dfrac{m+n}{\sqrt{m.n}}\right)\) với \(m>0;n>0;m\ne n\)
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P biết m và n là 2 nghiệm của phương trình \(x^2-7x+4=0\)
c. Chứng minh: \(\dfrac{1}{P}< \dfrac{1}{\sqrt{m+n}}\)
Cho a,b ≥ 0 thỏa mãn :
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\). Chứng minh rằng:
\(ab\left(a+b\right)^2< \dfrac{1}{64}\)
Ta có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)
\(\Leftrightarrow(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=1\)
\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=1\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}=1-\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}=\dfrac{1-\left(a+b\right)}{2}\)
Lại có:
\(ab\left(a+b\right)^2=\left[\sqrt{ab}.\left(a+b\right)\right]^2=\left[\dfrac{1-\left(a+b\right)}{2}.\left(a+b\right)\right]^2=\left[\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2\)
Ta thấy:
\(\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2=-\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)\right]=-\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right]=-\left(a+b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2}{2}\le\dfrac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow[\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2}{2}]^2\le\dfrac{1}{64}\)
hay \(ab\left(a+b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)