Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4 C . Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y = -3x có phương trình là:
A. y = - 3 x + 2
B. y = - 3 x + 3
C. y = - 3 x + 4
D. y = - 3 x + 5
Cho hàm số \(y=\dfrac{x}{x-1}\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng khoẳng cách từ điểm \(B\left(1;1\right)\) đến tiếp tuyến có giá trị lớn nhất.
A. \(y=x-4\)
B. \(y=x+3\)
C. \(y=-x+5\)
D. \(-x+4\)
Ta có : \(y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đths trên \(\). Ta có :
PT d : \(y=\dfrac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_{0-1}}=\dfrac{-x}{\left(x_0-1\right)^2}+\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}\)
K/C từ B(1;1) đến d : d(B;d) = \(\left|\dfrac{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+1-\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^4}+1}}\right|\)
= \(\left|\dfrac{2\left(1-x_0\right)}{\left(x_0-1\right)^2}\right|:\dfrac{\sqrt{\left(x_0-1\right)^4+1}}{\left(x_0-1\right)^2}=\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{\left(1-x_0\right)^4+1}}\) \(\le\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{2\left(1-x_0\right)^2}}=\sqrt{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
Suy ra : y = -x hoặc y = -x + 4
\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Giả sử \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến d:
\(y=-\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_0-1}\)
\(\Rightarrow x+\left(x_0-1\right)^2y-x_0^2=0\)
\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|1+\left(x_0-1\right)^2-x_0^2\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2\left|x_0-1\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+\left(x_0-1\right)^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}=\left(x_0-1\right)^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-x\\y=-x+4\end{matrix}\right.\)
Bài 4: Cho hàm số y = - x ^ 3 + 3x ^ 2 + 9x + 5 (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Ta có y’ = -3x2 – 6x + 9
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f’(xo) = -3xo2 – 6xo + 9
⇔ f’(xo) = -3(xo2 + 2xo + 1) + 12 = -3(xo + 1)2 + 12 ≤ 12
Từ đó suy ra maxf’(xo) = 12 tại xo = -1.
Với xo = -1 ⇒ yo = -16, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 12x - 4.
Chúc bn học tốt
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên tập R/ 2 và có đồ thị hàm số y=f’(x) như hình vẽ. Biết f 1 ≠ 10 f(3)=4 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 3x+y-13
A. 2
B. 1
C. 0.
D. 3
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{sinx+cosx}\)
b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=\dfrac{x+3}{x-1}\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=\dfrac{1}{4}x+5\)
a.
\(y'=\dfrac{\left(sinx+cosx\right)'}{2\sqrt{sinx+cosx}}=\dfrac{cosx-sinx}{2\sqrt{sinx+cosx}}\)
b.
\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)
Tiếp tuyến vuông góc với \(y=\dfrac{1}{4}x+5\) nên có hệ số góc thỏa mãn \(k.\left(\dfrac{1}{4}\right)=-1\Rightarrow k=-4\)
\(\Rightarrow\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}=-4\Rightarrow\left(x-1\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=-3\\x=2\Rightarrow y=5\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=-4x-3\\y=-4\left(x-2\right)+5\end{matrix}\right.\)
Cho hàm số \(y=x^3+3x^2-6x+1\) (C)
Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=-\dfrac{1}{18}x+1\) ?
\(y'=3x^2+6x-6\)
Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng đã cho nên có hệ số góc thỏa mãn:
\(k.\left(-\dfrac{1}{18}\right)=-1\Rightarrow k=18\)
\(\Rightarrow3x^2+6x-6=18\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\Rightarrow y=9\\x=-4\Rightarrow y=9\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=18\left(x-2\right)+9\\y=18\left(x+4\right)+9\end{matrix}\right.\)
a) tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=-x^3+3x-2 (c) tại điểm có hoành độ -3
b) viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (c) trên tại điểm ( ứng với tiếp điểm ) có hoành độ -3
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2}\). Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1;4} \right)\) có hệ số góc bằng:
A. ‒3.
B. 9.
C. ‒9.
D. 72.
Ta có: \(y'3x^2-3.2x=3x^2-6x\).
Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left(-1;4\right)\) có hệ số góc bằng:\(y'\left(-1\right)=3.\left(-1\right)^2-6.\left(-1\right)=9\).
\(\Rightarrow B\)
Cho đường cong (C) là đồ thị của hàm số y = x^2 - 4x + 3. Viết pt tiếp tuyến của đường cong đó. a) tại điểm Mo = (-2, 15) b) tại điểm có tung độ x = 3 c) k = 4
\(y'=2x-4\)
a.
\(y'\left(-2\right)=2.\left(-2\right)-4=-8\)
Phương trình tiếp tuyến:
\(y=-8\left(x+2\right)+15\Leftrightarrow y=-8x-1\)
b.
Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm
\(\Rightarrow x_0^2-4x_0+3=3\Rightarrow x_0^2-4x_0=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\Rightarrow y'\left(0\right)=-4\\x_0=4\Rightarrow y'\left(4\right)=4\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=-4\left(x-0\right)+3\\y=4\left(x-4\right)+3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\)
c.
Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm \(\Rightarrow y'\left(x_0\right)=k=4\)
\(\Rightarrow2x_0-4=4\Rightarrow x_0=4\)
\(\Rightarrow y\left(4\right)=3\)
Pttt: \(y=4\left(x-4\right)+3\Leftrightarrow y=4x-13\)
Cho hàm số y=\(2x^4-4x^2-1\) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết
a) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x-48y+1=0\)
b) tiếp tuyến đi qua \(A\left(1;-3\right)\)
c) tiếp tuyến tiếp xúc voi (C) tại 2 điểm phân biệt
\(y'=8x^3-8x\)
a. Đường thẳng \(x-48y+1=0\) có hệ số góc \(\dfrac{1}{48}\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k=-48\)
\(\Rightarrow8x^3-8x=-48\Rightarrow x^3-x+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x+3\right)=0\Rightarrow x=-2\)
\(y'\left(-2\right)=47\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y=-48\left(x+2\right)+47\)
b. Gọi tiếp điểm có hoành độ \(x_0\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y=\left(8x_0^3-8x_0\right)\left(x-x_0\right)+2x^4_0-4x^2_0-1\) (1)
Do tiếp tuyến qua A:
\(\Rightarrow-3=\left(8x_0^3-8x_0\right)\left(1-x_0\right)+2x_0^4-4x^2_0-1\)
\(\Leftrightarrow3x_0^4-4x_0^3-2x_0^2+4x_0-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)^2\left(3x_0^2+2x_0-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=1\\x_0=-1\\x_0=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Có 3 tiếp tuyến thỏa mãn. Thay lần lượt các giá trị \(x_0\) bên trên vào (1) là được
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4x - 1\) có đồ thị là \((C)\). Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm \(M\) trên đồ thị \((C)\) là
A. 1 .
B. 2.
C. -1 .
D. 3 .
\(y'=\left(x^3-3x^2+4x-1\right)'=3x^2-3\cdot2x+4\)
\(=3x^2-6x+3+1=3\left(x-1\right)^2+1>=1\)
Dấu = xảy ra khi x=1
=>Chọn A