Chọn  n P → = n Q →  = (1; 0; −1)

Phương trình của (P) là: (x – 1) – (z – 2) = 0 hay x – z + 1 = 0.

Giải:

a) Mặt phẳng (Oxy) qua điểm O(0 ; 0 ; 0) và có vectơ pháp tuyến (0 ; 0 ; 1) và là vectơ chỉ phương của trục Oz. Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng:

0.(x - 0) +0.(y - 0) +1.(z - 0) = 0 hay z = 0.

Tương tự phương trình mặt phẳng (Oyz) là : x = 0 và phương trình mặt phẳng (Ozx) là: y = 0.

b) Mặt phẳng (P) qua điểm M(2; 6; -3) song song với mặt phẳng Oxy nhận (0 ; 0 ; 1) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: z +3 = 0.

Tương tự mặt phẳng (Q) qua M và song song với mặt phẳng Oyz có phương trình x - 2 = 0.

Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng Oxz có phương trình y - 6 = 0.

Đáp án D

Với điểm A(2;-3;4). Hình chiếu của A trên 3 trục tọa độ lần lượt là:

B(2; 0; 0); C( 0; -3; 0) và D( 0; 0; 4).

Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

Đáp án C

Phương trình mặt phẳng (Q) viết lại dưới dạng: 3x - 6y + 2z - 6 = 0

Suy ra đáp án B sai. Trong ba đáp án còn lại chỉ có mặt phẳng ở đáp án C đi qua điểm A.

d cách đều MN khi nó thỏa mãn 1 trong 2 trường hợp: d song song MN hoặc d đi qua trung điểm MN

TH1: d song song MN

\(\overrightarrow{MN}=\left(3;-4\right)\Rightarrow d\) nhận (4;3) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(4\left(x+2\right)+3\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow4x+3y-1=0\)

TH2: d đi qua trung điểm MN

Gọi P là trung điểm MN \(\Rightarrow P\left(\dfrac{1}{2};-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AP}=\left(\dfrac{5}{2};-4\right)=\dfrac{1}{2}\left(5;-8\right)\)

\(\Rightarrow d\) nhận (8;5) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(8\left(x+2\right)+5\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow8x+5y+1=0\)

Có 2 đường thẳng d thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}4x+3y-1=0\\8x+5y+1=0\end{matrix}\right.\)

Chọn:

n P → = n Q → ∧ n R →

Phương trình của (P) là:

7(x – 1) + 5(y + 3) – 3(z – 2) = 0

Hay 7x + 5y – 3z + 14 = 0

Mặt phẳng ( α ) vuông góc với hai mặt phẳng ( β ) và ( γ ), do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên ( α ) là:  n β →  = (3; −2; 2) và  n γ →  = (5; −4; 3).

Suy ra  n α →  =  n β →   ∧   n γ →  = (2; 1; −2)

Mặt khác ( α )( α ) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là  n α → . Vậy phương trình của ( α ) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0.

a.

Chọn \(C\left(1;1;1\right)\) là 1 điểm thuộc denta

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;4\right)\)

Đường thẳng denta có \(\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left(2;-1;1\right)\) là 1 vtcp

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AC};\overrightarrow{u_{\Delta}}\right]=\left(3;8;2\right)\)

\(\Rightarrow\left(Q\right)\) nhận \(\left(3;8;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình (Q):

\(3\left(x-1\right)+8\left(y-2\right)+2\left(y+3\right)=0\)

b.

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;1;1\right)\) là 1 vtpt

Ta có: \(\left[\overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(-2;-1;3\right)\)

Mặt phẳng (Q) nhận (2;1;-3) là 1 vtpt

Phương trình (Q):

\(2\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)-3\left(z+3\right)=0\)

c.

Gọi M là giao điểm denta và (P) thì tọa độ M thỏa:

\(-1+2t+2-t+t-3=0\Rightarrow t=1\)

\(\Rightarrow M\left(1;1;1\right)\)

\(\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{u_{\Delta}}\right]=\left(2;1;-3\right)\)

Đường thẳng d nhận (2;1;-3) là 1 vtcp

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1+t\\z=1-3t\end{matrix}\right.\)

d.

Do M thuộc denta nên tọa độ có dạng: \(M\left(-1+2t;2-t;t\right)\)

M là trung điểm AN \(\Rightarrow N\left(-3+4t;2-2t;2t+3\right)\)

N thuộc (P) nên: \(-3+4t+2-2t+2t+3-3=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\left(-2+2t;-t;t+3\right)=\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{4};\dfrac{13}{4}\right)=-\dfrac{1}{4}\left(6;1;13\right)\)

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+6t\\y=2+t\\z=-3+13t\end{matrix}\right.\)