Cho hình chóp đều S.ABCD có AC= 2a; góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
A. V = a 3 2 3
B. V = 2 a 3 3 3
C. V = a 3 2
D. V = a 3 2
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC=2a, mặt bên (SBC) tạo vơi đáy góc 45 0 . Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD là hình thoi cạnh 2a, A C = 3 a là tam giác đều, S A = 120 ° . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. 3 a 3
B. 3 3 a 3 2
C. 6 a 3
D. 2 3 a 3 3
+ Tam giác SAB đều ⇒ S A = S B = A B = 2 a
+ Xét tam giác SAD có
S D 2 = S A 2 + A D 2 - 2 S A . S D . c o s S A D = 12 a 2 ⇒ S D = 2 3 a
+ Gọi A C ∩ B D = O ⇒ A O = A C 2 = 3 a 2
⇒ B O = A B 2 - A O 2 = 13 a 2 ⇒ B D = 13 a
Áp dụng công thức Hêrông ta tính được diện tích của tam giác SBD là S ∆ S B D = 183 a 2 4
+ Gọi H là hình chiếu của A trên (SBD). Vì A B = A D = A S = 2 a ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
S B D ⇒ S H = S B . S D . B D 4 S ∆ S B D = 4 39 a 183
⇒ A H = S A 2 - S H 2 = 4 a 2 - 624 a 2 183 = 6 3 183 ⇒ v S . A B D = V A . S B D = 1 3 . A H . S ∆ S B D = 1 3 . 6 3 a 183 . 183 a 3 4 = 3 a 3 4 ⇒ V S . A B C D = 2 V S . A B C D = 3 a 3
Cách 2:
Ta có
c o s B A C = A B 2 + A C 2 - B C 2 2 . A B . A C = 4 a 2 + 3 a 2 - 4 a 2 2 . 2 a . 3 a = 3 4 ⇒ c o s B A D = 2 ( c o s B A C ) 2 - 1 = - 5 8
Áp dụng công thức tính nhanh cho khối chóp A.SBD ta có
V A . S B D = A S . A B . A D 2 .
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD là hình thoi cạnh 2 a , A C = 3 a , S A B là tam giác đều, S A D ^ = 120 ° . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. 3 a 3
B. 3 3 a 3 2
C. 6 a 3
D. 2 3 a 3 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, A C = a 3 , SAB là tam giác đều, S A D ^ = 120 ° . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
A. a 3 3
B. 3 a 3 3 2
C. a 3 6
D. 2 a 3 3 3
HD: Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SBD
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆SBD là
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 45 ° . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
A. a 3 2 .
B. 2 3 a 3 3 .
C. a 3 2 3 .
D. a 3 2 .
Chọn C.
Gọi M là trung điểm của BC
Suy ra
Vì AC = 2a nên
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 45 0 . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
A. a 3 2
B. 2 3 a 3 3
C. a 3 2 3
D. a 3 2
Cho hình chóp đều S.ABCD có A C = 2 a ; góc giữa mặt phẳng S B C và mặt phẳng A B C D bằng 45 ° . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
A. V = a 3 2 3
B. V = 2 3 a 3 3
C. V = a 3 2
D. V = a 3 2
Cho hình chóp đều S. ABCD có AC = 2a, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
A. V = a 3 2 3
B. V = 2 a 3 3 3
C. V = a 3 2
D. V = a 3 2
Chọn A
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra O M ⊥ B C .
Ta có S B C ; A B C D ^ = S M O ^ = 45 o .
Ta có
A C 2 = A B 2 + B C 2 = 4 a 2 ⇒ A B = B C = a 2 . O M = 1 2 A B = a 2 2 ⇒ S O = a 2 2 . tan 45 o = a 2 2 .
Vậy V S . A B C D = 1 3 . S O . S A B C D = 1 3 . a 2 2 . a 2 2 = 2 a 3 3 .