+ Xét tính tăng giảm.

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ un + 1 < un với mọi n ∈ N.

⇒ (un) là dãy số giảm.

+ Xét tính bị chặn.

un > 0 với mọi n.

⇒ (un) bị chặn dưới.

un ≤ u1 = √2 - 1 với mọi n

⇒ (un) bị chặn trên.

⇒ (un) bị chặn.

Ta có:  u n > 0   ∀ n ≥ 1

u n + 1 u n = n 2 + n + 1 ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) + 1 = n 2 + n + 1 n 2 + 3 n + 3 < 1   ∀ n ∈ ℕ *

⇒ u n + 1 < u n   ∀ ≥ 1 ⇒  dãy ( u n )  là dãy số giảm.

Mặt khác: 0 < u n < 1 ⇒  dãy ( u n )  là dãy bị chặn.

Chọn đáp án C

Xét hiệu:  u n + 1 − u n = 2 n + 1 n + 4 − 2 n − 1 n + 3

= 2 n 2 + 7 n + 3 − 2 n 2 − 7 n + 4 n + 4 n + 3 = 7 n + 4 n + 3 > 0 ; ∀ n ∈ N *

Vậy: ( u n ) là dãy số tăng.

Ta có  u n = 2 n − 1 n + 3 = 2 ( n + 3 ) − 7 n + 3 = 2 − 7 n + 3

 Suy ra: ∀ n ∈ ℕ * , u n < 2  nên   ( u n )  bị chặn trên.

 Vì  ( u n ) là dãy số tăng ∀ n ∈ ℕ * , u 1 = 1 4 ≤ u n  nên  ( u n )  bị chặn dưới. Vậy  ( u n )  bị chặn.

Chọn đáp án C.

Chọn A.

Trước hết ta chứng minh 1 < u_n < 4

Điều này hiển nhiên đúng với n = 1.

Giả sử 1 < u_n < 4, ta có: 

Ta chứng minh (u_n) là dãy tăng

Ta có u₁ < u₂, giả sử u_n-1 < u_n, ∀ n ≤ k.

Khi đó: 

Vậy dãy (u_n)  là dãy tăng và bị chặn.

Suy ra: Với n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ (-1)n – 1 = -1 ⇒ un < 0

Với n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ (-1)n – 1 = 1 ⇒ un > 0.

⇒ u1 > u2 < u3 > u4 < u5 > u6 …

⇒ (un) không tăng không giảm.

+ Xét tính bị chặn :

Với ∀ n ∈ N:

⇒ -1 ≤ un ≤ 1.

Vậy (un) bị chặn.

Chọn B.

Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: (u_n) 1 < u_n ≤ 2, ∀ n

Điều này đúng với n = 2, giả sử 1 < u_n < 2 ta có:  nên ta có đpcm.

Mà .

Vậy dãy (u_n) là dãy giảm và bị chặn.

Đáp án C

\(u_n=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

\(=1-\dfrac{1}{n+1}< 1\)

=>Hàm số bị chặn trên tại \(u_n=1\)

\(n+1>=1\)

=>\(\dfrac{1}{n+1}< =1\)

=>\(-\dfrac{1}{n+1}>=-1\)

=>\(1-\dfrac{1}{n+1}>=-1+1=0\)

=>Hàm số bị chặn dưới tại 0

\(u_n=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)

\(\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{n}{n+1}:\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1}< 1\)

=>(un) là dãy số tăng

\(u_n=\dfrac{1}{n+1}\Rightarrow u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}\)

\(\Rightarrow u_n-u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}< u_n\Rightarrow\) dãy giảm

Do \(\dfrac{1}{n+1}>0\Rightarrow\) dãy bị chặn dưới bởi 0

\(u_n-1=\dfrac{1}{n+1}-1=-\dfrac{n}{n+1}< 0\Rightarrow u_n< 1\)

\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn trên bởi 1

\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn