A’ là trung điểm của BC 

B’ là trung điểm của AC 

C’ là trung điểm của BA 

Gọi G là trọng tâm ΔABC và G’ là trọng tâm ΔA’B’C’

Ta có :

Vậy G ≡ G’ (đpcm)

a) Xét \(\Delta ABC\) có D là trung điểm AB,E là trung điểm BC

=> DE là đường trung bình => DE//AC và \(DE=\dfrac{AC}{2}=AF\)

Tương tự => EF là đường trung bình tam giác ABC

=> EF//AB và \(EF=\dfrac{AB}{2}=AD\) 

=> đpcm

b) Vì EF//AD và DE//AF => ADEF là hình bình hành 

 có AE,DF là 2 đường chéo => AE đi qua trung điểm DF 

a) Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB(gt)

E là trung điểm của BC(gt)

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: DE//AC và \(DE=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà F∈AC và \(AF=\dfrac{AC}{2}\)(F là trung điểm của AC)

nên DE//AF và DE=AF

b) Xét tứ giác ADEF có 

DE//AF(cmt)

DE=AF(cmt)

Do đó: ADEF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra: Hai đường chéo AE và DF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

hay AE đi qua trung điểm của DF

a: AC=12cm

Xét ΔABC có AB<AC<BC

nên \(\widehat{C}< \widehat{B}< \widehat{A}\)

b: Xét ΔCBD có 

CA là đường cao

CA là đường trung tuyến

Do đó: ΔCBD cân tại C

Suy ra: CB=CD

Mình không biết vẽ hình khi trả lời nên bạn tự vẽ nhé

Đầu tiên chứng minh \(NE=\frac{1}{6}AN\)

Qua E kẻ đường thẳng song song BF cắt AC tại K

Theo ta-lét ta có:

\(\frac{FK}{FC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}\)=>\(\frac{FK}{ÀF}=\frac{1}{6}=\frac{NE}{AN}\)

Từ E,N,C kẻ các đường cao tới AB lần lượt là H,G,I

Theo talet ta có

\(\frac{EH}{CI}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3},\frac{NG}{EH}=\frac{AN}{AE}=\frac{6}{7}\)

=> \(\frac{NG}{CI}=\frac{2}{7}\)=> \(\frac{NG.AB}{CI.AB}=\frac{2}{7}\)

=> \(\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)

Tương tự \(\frac{S_{BPC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\),\(\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)

=> \(S_{MNP}=S_{ABC}-S_{AMC}-S_{ABN}-S_{BCP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)

Vậy \(S_{MNP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)

Tọa độ G là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+0}{3}=2\\y=\dfrac{0-4-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

Tọa độ M là:

x=(2+0)/2=1 và y=(-4-2)/2=-3

Tọa độ N là:

x=(4+0)/2=2 và y=(0-2)/2=-1

Tọa độ P là;

x=(4+2)/2=3 và y=(0-4)/2=-2

Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+3}{3}=2\\y=\dfrac{-3-1-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)

=>Tam giác ABC và tam giác MNP có chung trọng tâm

a) Xét tam giác ABC có : BN = CN

                                        AP = PC

suy ra : NP là đường trung bình của tam giác ABC

suy ra : NP song song với AB và NP = AB/2

Xét tam giác ABC có : AM = BM ; BN = CN

suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC

suy ra MN song song với AC và MN = AC/2

Xét tứ giác AMNP có : MN song song với AP ( MN song song AC )

                                    NP song song với MA ( NP song song AB )

suy ra : tứ giác AMNP là hbh

mà góc BAC = 90 độ

suy ra : hbh AMNP là hcn

b) Ta có : công thức tính diện tích hcn là : a.b ( trong đó a,b là chiều dài hai cạnh kề nhau của hcn )

suy ra : công thức tính diện tích hcn AMNP là :

    S_AMNP = MN.NP

Ta có : MN = AC/2

mà AC = 8

suy ra : MN = 8/2 = 4cm

Ta có : NP = AB/2

mà AB = 6

suy ra : NP = 6/2 = 3cm

suy ra : diện tích hcn AMNP = 4.3 = 12 (cm²)

c) phần c hình như sai rồi á bạn

d) Ta có : AMNP là hcn ( đã C/M ở phần a )

Để hcn AMNP là hình vuông

khi và chỉ khi : MA = MN 

mà MA = BA/2

      MN = CA/2

suy ra : để hcn nhật AMNP là hv thì AB = AC