Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện a 3 > 36 và abc = 1
Xét tam thức bậc hai
Chứng minh rằng f(x) > 0, ∀x
Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện \(a^3>36\) và \(abc=1\)
Xét tam thức bậc hai : \(f\left(x\right)=x^2-ax-3bc+\dfrac{a^2}{3}\)
a) Chứng minh rằng \(f\left(x\right)>0;\forall x\)
b) Từ câu a) suy ra \(\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca\)
Lời giải
a) c/m \(f\left(x\right)=x^2-ax-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\forall x\)
\(\Delta_{x_{a,b,c}}=a^2+12bc-\dfrac{4}{3}a^2=\dfrac{-a^2+36bc}{3}\)
\(\Delta=\dfrac{-a^3+36}{3a}\)
\(a^3>36\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\-a^3+36< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{-36a^3+36}{3a}< 0\)
\(\Rightarrow\) F(x) vô nghiệm => f(x)>0 với x => dpcm
b)
\(\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2-ab-bc-ac>0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-a\left(b+c\right)-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\)
Từ (a) =>\(f\left(b+c\right)=\left(b+c\right)^2-a\left(b+c\right)-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\) => dccm
Cho a;b;c là ba số thực dương, a > 1 và thỏa mãn log 2 a b c + log a b 3 c 3 + b c 4 2 + 4 + 4 - c 2 = 0 . Số bộ a;b;c thỏa mãn điều kiện đã cho là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy số bộ a,b,c thỏa mãn điều kiện đã cho là 1.
Chọn B.
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=a^2+b^2+c^2\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1\) (1)
Do \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\Rightarrow a+b+c>0\)
(1)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca+\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2=\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{a+b+c}\ge3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)
Cho biểu thức: 
a) Chứng minh A= x/(x+4)
b) Với x nguyên, tìm GTNN của A.
Cho em hỏi, câu b) em tìm ra x=-3 không thỏa mãn điều kiện của bt A ban đầu [nhưng vẫn thỏa mãn A= x/(x+4)] thì có được không hay phải xét điều kiện theo biểu thức A ban đầu ạ?
Không em, phải thỏa cả ĐKXĐ ban đầu chứ
Do đó \(x=-2\) \(\Rightarrow A=-1\) mới là GTNN của A
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: a,b,c. Thỏa mãn điều kiện a3+b3+c3= 3abc. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được
(a+b+c).(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0
nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0
mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0
vậy a^2+b^2+c^2 -ab-bc-bc-ca=0
đặt đa thức đó bằng A
A=0 nên 2xA=0
phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
nên a=b=c vậy là tam giác đều
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2+a}\)+\(\dfrac{1}{2+b}\)+\(\dfrac{1}{2+c}\)≤ 1
\(abc=1\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{y}{x+2y}+\dfrac{z}{y+2z}+\dfrac{x}{z+2x}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2y}{x+2y}-1+\dfrac{2z}{y+2z}-1+\dfrac{2x}{z+2x}-1\le2-3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x+2y}+\dfrac{y}{y+2z}+\dfrac{z}{z+2x}\ge1\)
Điều này đúng do:
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)
Trong các mệnh đề sau
a. Nếu tam giác ABC thỏa mãn AB2 + AC2 = BC2 thì tam giác ABC vuông tại B.
b. Nếu một phương trình bậc hai có biệt thức không âm thì nó có nghiệm.
c. Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC và góc A = 600.
d. Hình thang cân có một trục đối xứng.
Các mệnh đề đúng là:
A. a, c.
B. a, b, c.
C. b, c.
D. b, c, d.
Đáp án: D
a sai vì nếu tam giác ABC thỏa mãn AB2 + AC2 = BC2 thì tam giác ABC vuông tại A không phải vuông tại B.
b, c, d đúng.
Xét các số thực âm a,b,c thay đổi thỏa mãn điều kiện 4(ab+bc+ac)=9abc+1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c
Ủa số thực âm hay không âm vậy em?
Đặt \(a+b+c=p\) ; \(ab+bc+ca=q\) ; \(abc=r\)
\(\Rightarrow p^2\ge3q\)
Từ giả thiết: \(4q=9r+1\)
Áp dụng BĐT Schur bậc 3: \(r\ge\dfrac{4pq-p^3}{9}\)
\(\Rightarrow4q\ge4pq-p^3+1\Leftrightarrow p^3-1+4q-4pq\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p^2+p+1-4q\right)\ge0\)
Nếu \(p< 1\Rightarrow p^2+p+1-4q\le0\)
Mà \(p< 1\Rightarrow1>p^2\Rightarrow0\ge p^2+p+1-4q>p^2+p+p^2-4q\)
\(\Rightarrow2\left(p^2-2q\right)+p< 0\) (vô lý do \(p^2\ge3q\ge2q\))
\(\Rightarrow p\ge1\)
Vậy \(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\) hoặc \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\) và các hoán vị
