Question

Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện \(a^3>36\) và \(abc=1\)

Xét tam thức bậc hai : \(f\left(x\right)=x^2-ax-3bc+\dfrac{a^2}{3}\)

a) Chứng minh rằng \(f\left(x\right)>0;\forall x\)

b) Từ câu a) suy ra \(\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca\)

Answer 1

Lời giải

a) c/m \(f\left(x\right)=x^2-ax-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\forall x\)

\(\Delta_{x_{a,b,c}}=a^2+12bc-\dfrac{4}{3}a^2=\dfrac{-a^2+36bc}{3}\)

\(\Delta=\dfrac{-a^3+36}{3a}\)

\(a^3>36\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\-a^3+36< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{-36a^3+36}{3a}< 0\)

\(\Rightarrow\) F(x) vô nghiệm => f(x)>0 với x => dpcm

b)

\(\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2-ab-bc-ac>0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-a\left(b+c\right)-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\)

Từ (a) =>\(f\left(b+c\right)=\left(b+c\right)^2-a\left(b+c\right)-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\) => dccm