Cho hyperbol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{7} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hyperbol.
Ta có: \({a^2} = 7,{b^2} = 9 \Rightarrow c = \sqrt {7 + 9} = 4\) nên hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4;0} \right);{F_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 8\).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hyperbol?
A. \(\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\)
B. \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{6} = 1\)
C. \(\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
D. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = - 1\)
Tìm góc giữa 2 đường tiệm cận của hyperbol x 2 3 - y 2 = 1
A. 450
B. 300
C.900
D. 600
Chọn D.
Ta có a 2 = 3 b 2 = 1 ⇒ a = 3 b = 1 :
Đường tiệm cận của (H) là y = 1 3 x và y = - 1 3 x hay x - 3 y = 0 và x + 3 y = 0 .
Gọi là góc giữa hai đường tiệm cận, ta có
cos a = 1 . 1 - 3 . 3 1 2 + - 3 2 . 1 2 + 3 2 = 1 2 ⇒ a = 60 0
Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hyperbol x 2 16 - y 2 12 = 1
A. x - 3 4 = 0
B. x+2=0
C. x-4=0
D. x + 8 7 7 = 0
Đáp án : B
Ta có a 2 = 16 b 2 = 12 c 2 = a 2 + b 2 ⇒ a = 4 b = 2 3 c = 2
Tâm sai e = c a = 2 . Đường chuẩn: x+ 2= 0 và x-2 =0 .
Đường Hyperbol x 2 5 - y 2 4 = 1 có tiêu cự bằng :
A.2
B. 6
C. 3
D. 1
Chọn B.
Ta có: a 2 = 5 b 2 = 4 c 2 = a 2 + b 2 ⇒ a = 5 b = 2 c = 3
Tiêu cự 2c= 6
Đường Hyperbol x 2 16 - y 2 9 = 1 có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây ?
A. 7 ; 0
B. 0 ; 7
C. (0;5)
D. (-5; 0)
Ta có
a 2 = 16 b 2 = 9 c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c=5
Các tiêu điểm của (H) là (-5;0) và (5;0) .
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hyperbol \(y=\dfrac{1}{x}\) ?
a) Tại điểm \(\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\)
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-\dfrac{1}{4}\)
y' = - .
a) Ta có: \(y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow\) y' = -4. \(\Rightarrow\)k= -4. Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm (
; 2) là y - 2 = -4(x -
) hay y = -4x + 4.
b)Ta có:\(y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow\) y' (-1) = -1.\(\Rightarrow\) k= -1. Ngoài ra, ta có y(-1) = -1. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là -1 là
y - (-1) = -[x - (-1)] \(\Leftrightarrow\) y = -x - 2.
c) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có
y' (x0) = - <=> -
= -
<=> x02 = 4 <=> x0 = ±2.
Với x0 = 2 ta có y(2) = , phương trình tiếp tuyến là
y - = -
(x - 2) \(\Leftrightarrow\) y =
x + 1.
Với x0 = -2 ta có y (-2) = - , phương trình tiếp tuyến là
y - = -
[x - (-2)] \(\Leftrightarrow\) y = -
x -1
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) (hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là \(\frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.
Gọi khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là z
Suy ra khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là \(\frac{2}{3}z\)
Ta có \(z + \frac{2}{3}z = 150 \Rightarrow z = 90\)
Thay \(y = 90\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) ta tìm được \(x = 4\sqrt {274} \)
Thay \(y = 60\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) ta tìm được \(x = 4\sqrt {149} \)
Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là \(4\sqrt {149} \) m và \(4\sqrt {274} \)m
Cho hyperbol (H) có các tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) và đặt điểm \({F_1}{F_2} = 2c\). Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \({F_1}( - c;0)\) và \({F_2}(c;0)\)
Xét điểm \(M(x;y)\)
a) Tính \({F_1}M\) và \({F_2}M\) theo x, y và c
b) Giải thích phát biểu sau:
\(M(x;y) \in (H) \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)
a) Ta có:
\(\overrightarrow {{F_1}M} = \left( {x + c;y} \right) \Rightarrow {F_1}M = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} \)
\(\overrightarrow {{F_2}M} = \left( {x - c;y} \right) \Rightarrow {F_2}M = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \)
b) Ta có \(M(x;y) \in (E)\) nên \(\left| {{F_1}M - {F_2}M} \right| = 2a \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)
