Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = ab + bc + ca + a^3 + b^3 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của biểu thức B theo a, b và c. Đạo hàm riêng của B theo a, b và c được tính như sau:

∂B/∂a = 3a^2 + b^3 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(b + c) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2 ∂B/∂b = a^3 + 3b^2 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(a + c) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2 ∂B/∂c = a^3 + b^3 + 3c^2 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(a + b) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2

Tiếp theo, ta giải hệ phương trình ∂B/∂a = ∂B/∂b = ∂B/∂c = 0 để tìm các điểm cực trị của biểu thức B.

Sau khi tìm được các điểm cực trị, ta so sánh giá trị của B tại các điểm cực trị và tại các điểm biên của miền xác định để tìm giá trị nhỏ nhất của B.

Tuy nhiên, việc giải phương trình và tính toán các giá trị có thể làm cho quá trình này trở nên phức tạp và mất nhiều thời gian.

Do đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, ta có thể sử dụng phương pháp khác như phương pháp đặt tính chất của hàm để giải quyết bài toán này.

dự đoán của chúa Pain a=b=c=1 éo nói nhiều

áp dụng định lí six path of Pain ta có

\(ab+1\ge2\sqrt{ab}\)

\(bc+1\ge2\sqrt{bc}\)

\(ca+1\ge2\sqrt{ca}\)

\(ab+bc+ca+3\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right),\)

mặt khác tao lại có \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}\sqrt{ca}\le a+b+c\)

nếu mà éo hiểu thì để tao chứng minh

\(\sqrt{ab}\le\frac{\left(a+b\right)}{2}\)

\(\sqrt{bc}\le\frac{\left(b+c\right)}{2}\)

\(\sqrt{ca}\le\frac{\left(c+a\right)}{2}\)

\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\frac{1}{2}\left(2a+2b+2c\right)=a+b+c\) ok

thay a+b+C vào tao được

\(ab+bc+ca+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(ab+bc+ca+3\ge6\)

vậy Min của AB+BC+CA là 3 dấu = xảy ra khi a=b=c=1

tích cho đại ca cái

\(\dfrac{a^3}{a^2+bc}=a-\dfrac{abc}{a^2+bc}\ge a-\dfrac{abc}{2a\sqrt{bc}}=a-\dfrac{\sqrt{bc}}{2}\)

\(\dfrac{b^3}{b^2+ca}\ge b-\dfrac{\sqrt{ac}}{2};\dfrac{c^3}{c^2+ab}\ge c-\dfrac{\sqrt{ab}}{2}\)

\(\Rightarrow M\ge a+b+c-\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{2}+\dfrac{\sqrt{bc}}{2}+\dfrac{\sqrt{ca}}{2}\right)=2022-\left(\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\right)\)

\(do:\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c\)

\(\Rightarrow M\ge2022-\dfrac{a+b+c}{2}=2022-\dfrac{2022}{2}=1011\)

\(min_M=2021\Leftrightarrow a=b=c=674\)

\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+1}{a+b+c-abc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+1}{a+b+c-abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+1}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow P\ge a+b+c+\dfrac{1}{a+b+c}\) (1)

\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(P=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+c+b}{a+c}\right)\)

\(P=\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\ge\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\right)\)

\(P\ge\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\right)=\dfrac{3}{a+b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow3P\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{9}{a+b+c}\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(\Rightarrow4P\ge\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{10}{a+b+c}\ge2\sqrt{\dfrac{50\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}}=10\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;0\right)\) và các hoán vị

a+b+c=abc à

uk bạn ơi

Từ \(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

\(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xy+yz+xz=1\end{cases}}\)

\(A=\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\)

\(=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3xyz+x+y+z}\)\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{3}+x+y+z}\)

\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{xy+yz+xz+3}\)\(\ge\frac{3\sqrt{3\left(xy+yz+xz\right)}}{xy+yz+xz+3}\)

\(=\frac{3\sqrt{3}}{1+3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

Lời giải:
Vì $abc=1$ nên:

\((a+bc)(b+ac)(c+ab)=a(a+bc)b(b+ac)c(c+ab)=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^2+1)(1+b^2)\geq (a+b)^2; (a^2+1)(1+c^2)\geq (a+c)^2; (b^2+1)(1+c^2)\geq (b+c)^2\)

Nhân theo vế và thu gọn:

\(\Rightarrow (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+b)(b+c)(c+a)\)

Lại có: Theo BĐT AM-GM thì:

\((a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc\)

\(\geq (ab+bc+ac)(a+b+c)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}=\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}(*)\) (đây là BĐT khá quen thuộc rồi)

Do đó:

\(P=\frac{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a+b+c}\)

\(P\geq \frac{7(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}+\frac{1}{a+b+c}\)

Áp dụng BĐT (*) và AM-GM:

\(\frac{7(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}\geq 7.\frac{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}{8(ab+bc+ac)}=\frac{7}{9}(a+b+c)\geq \frac{7}{9}.3\sqrt[3]{abc}=\frac{7}{3}\)

\(\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}+\frac{1}{a+b+c}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)(a+b+c)}}\geq 2\sqrt{\frac{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{7}{3}+\frac{2}{3}=3\)

Vậy $P_{\min}=3$

\(\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)\)

\(=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1+1\)

\(=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1+1+1-1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-1=\left(a+b+c\right)^2-1\)\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2-1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a+b+c}\)

Dấu " = " xảy ra <=> ...

Ta có: \(\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2\ge ab+bc+ca\)( BĐT quen thuộc tự c/m)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2-1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}-\frac{1}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{a+b+c}\)\(=3+\frac{a+b+c-3}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Ta có: \(abc=1\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}=1\le\frac{a+b+c}{3}\left(AM-GM\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Dấu " = " xảy ra <=> ...

\(\Rightarrow P\ge3+\frac{a+b+c-3}{\left(a+b+c\right)^2}\ge3\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1

KL:...........

\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c\left(ab+bc+ca\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+c\left(bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)

- Với \(a=-b\Rightarrow a^{2021}=-b^{2021}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^{2021}+b^{2021}+c^{2021}=c^{2021}\\\left(a+b+c\right)^{2021}=c^{2021}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^{2021}+b^{2021}+c^{2021}=\left(a+b+c\right)^{2021}\)

Hai trường hợp sau hoàn toàn tương tự