Cho hai điểm cố định A; B. gọi I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M thoả: M A → + M B → = M A → - M B → là:
A. Đường tròn đường kính AB.
B. Trung trực của AB.
C. Đường tròn tâm I, bán kính AB.
D. Nửa đường tròn đường kính AB
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cố định trên d. Một đường tròn (M) luôn tiếp xúc với d tại điểm I cố định sao cho những tiếp tuyến với ( M ) vẽ từ A và B song song với nhau. Chứng minh rằng điểm M di động trên đường tròn cố định
Gọi AC,BD lần lượt là tiếp tuyến kẻ từ A,B tới đường tròn (M). Theo giả thiết thì AC // BD.
Ta có AC vuông góc MC, AC // BD => MC vuông góc BD. Mà MD vuông góc BD nên C,M,D thẳng hàng
Suy ra CD là đường kính của (M) => ^CID chắn nửa đường tròn (M) => ^CID = 900
Hay IC vuông góc ID (1). Ta lại có AI,AC là tiếp tuyến từ A tới (M) => AM là trung trực của IC
=> AM vuông góc IC (2). Tương tự BM vuông góc ID (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra MA vuông góc MB => ^AMB = 900 => M nằm trên đường tròn đường kính AB
Do A,B cố định nên đường tròn (AB) cố định. Vậy M luôn di động trên (AB) cố định (đpcm).
Lưu ý: Điểm I cố định hay di chuyển cũng không ảnh hưởng tới kết quả của bài toán.
Cho góc vuông xOy cố định. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Hai điểm A và B chuyển động sao cho OA+OB=a. Vẽ hai đường tròn (A; OB) , (B; OA), cắt nhau tại D và E. Chứng minh: DE luôn đi qua một điểm cố định
Cho hai điểm A, B cố định. Gọi M là một điểm di động trong không gian sao cho M A B = 30 ° Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A. M thuộc mặt cầu cố định.
B. M thuộc mặt trụ cố định.
C. M thuộc mặt phẳng cố định.
D. M thuộc mặt nón cố định.
Chọn D.
Phương pháp: Đây là câu hỏi về kiến thức cơ bản.
Cách giải: Dễ thấy điểm M thuộc mặt nón đỉnh A trục AB và góc ở đỉnh là 60 °
Cho hai điểm A, B cố định. Gọi M là một điểm di động trong không gian sao cho M A B ^ = 30 0 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A. M thuộc mặt cầu cố định.
B. M thuộc mặt trụ cố định.
C. M thuộc mặt phẳng cố định.
D. M thuộc mặt nón cố định.
Hướng dẫn: D
Từ A kẻ đường thẳng d tạo với AB một góc 30 0 ta quay đường thẳng vừa tạo quanh AB với góc 30 0 không đổi thì thu được hình nón.
Lấy điểm K bất kì trên mặt nón đó, ta có K A B ^ = 30 0
Do A, B cố định ⇒ mặt nón cố định
Như vậy K ≡ M là thỏa mãn yêu cầu. Tức quỹ tích điểm M thuộc một mặt nón cố định nhận A làm đỉnh, có đường cao AB trùng với và góc giữa đường sinh và tia AB bằng 30 0 .
Cho góc vuông xOY cố định. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B, hai điểm A và B chuyển động sao cho OA+OB = a (a không đổi). Vẽ 2 đường tròn (A;OB); (B;OA), chúng cắt nhau tại D và E. Cm đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm cố định
Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định .
- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định \(\overrightarrow{\Rightarrow AH}=\overrightarrow{B'C}\)
Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{B'C}\)
- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : \(\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{B'C}\). Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .
Cho góc vuông xOy cố định. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B, hai điểm A và B chuyển động sao cho OA + OB = a (a không đổi). Hai đường tròn (A;OB) và (B;OA) cắt nhau tại D và E. CMR đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn (O).C là điểm chính giữa cung AB , M là điểm chuyển động trên dây AB. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.CMR:
AC^2=CM+CD
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc một đường thẳng cố định
a. Cô sửa thành AM2 = CM.CD
Xét tam giác ACM và DCA có: \(\widehat{C}\) chung, \(\widehat{CAM}=\widehat{CDA}\) (Chắn hai cung CB và CA bằng nhau)
Vậy thì \(\Delta ACM\sim\Delta DCA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AC}{CD}=\frac{CM}{CA}\Rightarrow CA^2=CD.CM\)
b. C là điểm chính giữa cung AB nên OC vuông góc AB tại trung điểm N. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM. AI cắt (O) tại J.
Do câu a: \(\Delta ACM\sim\Delta DCA\left(g-g\right)\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{CMA}\)
Lại có \(\widehat{JAD}=\widehat{JCD}\) nên \(\widehat{JAD}+\widehat{DAC}=\widehat{JCD}+\widehat{CMA}=90^o\Rightarrow\widehat{CAJ}=90^o\)
Vậy CJ là đường kính (O) hay J cố định, từ đó suy ra Ạ cố định. Lại có tâm I luôn thuộc AJ nên ta đã chứng minh được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc một đường thẳng cố định.
em thấy không ổn lắm ạ vì \(\widehat{JCD}\ne\widehat{OCD}\)
Cô sửa lại một phần câu b: Gọi các điểm như bên trên.
Xét đường tròn (O): \(\widehat{CDA}=\frac{1}{2}\widehat{COA}\) (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
Xét đường tròn (I): \(\widehat{CDA}=\widehat{MDA}=\frac{1}{2}\widehat{MIA}\) (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
Vậy nên \(\widehat{COA}=\widehat{MIA}\). Lại có OAC và MIA là các tam giác cân nên \(\widehat{ACO}=\widehat{IAM}\Rightarrow\widehat{CAI}=\widehat{IAM}+\widehat{MAC}=\widehat{ACO}+\widehat{MAC}=90^o\)
Vậy ta có kết luận như trên.
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Trên Ax lấy 1 điểm M cố định (M khác A). Kẻ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm) và cát tuyến MDE với đường tròn (O), (tia ME nằm giữa hai tia MB và MO). Qua A kẻ đường thẳng song song với ME cắt đường tròn (O) tại I, AC cắt MO tại K.
a) Chứng minh: △MCD đồng dạng với △MEC
b) Chứng minh: MK.MO=MC2
c) Gọi giao điểm của CI và ME là N.
1) Nếu \(\widehat{AIC=60^o}\), hãy tính MC theo R
2) Chứng minh: ON vuông góc với ME.
a: Xét ΔMCD và ΔMEC có
góc MCD=góc MEC
góc CMD chung
=>ΔMCD đồng dạng với ΔMEC
b: Xét (O) có
MA,MC là tiếp tuyến
=>MA=MC
mà OA=OC
nên OM là trung trực của AC
=>OM vuông góc AC tại K
ΔMCO vuông tại C có CK là đường cao
nên MK*MO=MC^2
c: góc AOC=2*góc AIC=120 độ
=>góc AOM=góc COM=60 độ
Xét ΔCOM vuông tại C có tan COM=CM/CO
=>CM/R=căn 3
=>CM=R*căn 3
Cho hai điện tích điểm đặt cố định tại hai điểm A và B, để cường độ điện trường gây bởi hai điện tích tại trung điểm của đoạn AB bằng 0 thì
A. hai điện tích phải trái dấu, cùng độ lớn
B. hai điện tích phải cùng dấu, cùng độ lớn
C. hai điện tích phải trái dấu, khác độ lớn.
D. hai điện tích phải cùng dấu, khác độ lớn
Đáp án B
+ Để cường độ điện trường tổng hợp tại trung điểm AB bằng 0 thì hai điện tích này phải cùng dấu và cùng độ lớn