Thực hiện quy đồng:  a b = a b + m b b + m = a b + a m b 2 + b m

a + m b + m = b a + m b b + m = a b + b m b 2 + b m

Vì  a b < 1 ⇒ a < b ⇒ a b + a m < a b + b m

Từ đó ta thu được  a b < a + m b + m

Ta có: 

Ta có: a/b > 1 nên a > b suy ra am > bm, suy ra ab + am > ab + bm.

Do đó 

Hay 

Ta có \(M=\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\)(BĐT Schwarz) 

\(=\dfrac{a+b}{2}=1\)

 "=" <=> a = b = 1 (không thỏa mãn điều kiện) 

=> "=" không xảy ra => M > 1(ĐPCM)

Chọn D.

Phương pháp: Tính tích phân để suy ra a, b, c.

Cách giải: Ta có:

Vì \(\frac{a}{b}>1\left(a,b\inℕ,b\ne0\right)\) nên \(a>b\)

\(a>b\Rightarrow a=b+n\left(n\inℕ^∗\right)\)

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b+n}{b}=1+\frac{n}{b}\) ; \(\frac{a+m}{b+m}=\frac{b+m+n}{b+m}=1+\frac{n}{b+m}\)

Mà \(\frac{n}{b}>\frac{n}{b+m}\) nên \(1+\frac{n}{b}>1+\frac{n}{b+m}\)

hay \(\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)   (đpcm)