Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+15}=t\Rightarrow0\le t\le4\)

BPT trở thành:

\(-4t\ge-t^2+2+m\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t-2\ge m\)

\(\Rightarrow m\le\min\limits_{\left[0;4\right]}\left(t^2-4t-2\right)\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2-4t-2\) trên \(\left[0;4\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=2\in\left[0;4\right]\)

\(f\left(0\right)=f\left(4\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=-6\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=-6\Rightarrow m\le-6\)

a: TH1: m=-3

Pt sẽ là \(-3x+\left(-3+2\right)\left(-3+4\right)=0\)

=>-3x-1=0

hay x=-1/3(loại)

TH2: m<>-3

Để pt có hai nghiệm trái dấu thì (m+2)(m+4)(m+3)<0

=>m<-4 hoặc -3<m<-2

b: \(\text{Δ}=9\left(m+2\right)^2-4\left(m+3\right)\left(m+2\right)\left(m+4\right)\)

\(=\left(m+2\right)\left[9m+18-4\left(m^2+7m+12\right)\right]\)

\(=\left(m+2\right)\left(9m+18-4m^2-28m-48\right)\)

\(=\left(m+2\right)\left(-4m^2-19m-30\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(4m^2+19m+30\right)< =0\)

=>m+2<=0

hay m<=-2

giúp vs ạ

a, Vì pt trên nhận \(4+\sqrt{2019}\) là nghiệm nên

\(\left(4+\sqrt{2019}\right)^2-\left(2m+2\right)\left(4+\sqrt{2019}\right)+m^2+2m=0\)

\(\Leftrightarrow2035+8\sqrt{2019}-2m\left(4+\sqrt{2019}\right)-8-2\sqrt{2019}+m^2+2m=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m\left(3+\sqrt{2019}\right)+6\sqrt{2019}+2027=0\)

Có \(\Delta'=\left(3+\sqrt{2019}\right)^2-6\sqrt{2019}-2027=1>0\)

Nên pt có 2 nghiệm \(m=\frac{3+\sqrt{2019}-1}{1}=2+\sqrt{2019}\)

                   hoặc \(m=\frac{3+\sqrt{2019}+1}{1}=4+\sqrt{2019}\)

b, Theo Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\left(1\right)\\x_1x_2=m^2+2m\left(2\right)\end{cases}}\)

Theo đề \(x_1-x_2=m^2+2\left(3\right)\)

Lấy (1) + (3) theo từng vế được 

\(2x_1=m^2+2m+5\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{m^2+2m+5}{2}\)

\(\Rightarrow x_2=2m+2-x_1=...=-\frac{\left(m-1\right)^2}{2}\)

Thay vào (2) được \(\frac{m^2+2m+5}{2}.\frac{-\left(m-1\right)^2}{2}=m^2+2m\)

                \(\Leftrightarrow-\left(m^2+2m+5\right)\left(m-1\right)^2=4m^2+8m\)

hmmm